Question

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу в отношении 2/3. меньший катет треугольника равен 12 см. найдите радиус вписанной окружности

Answer 1

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠C = 90°. K,M,F - точки касания со сторонами АС, АВ,  ВС. ВС = 12 см.

Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда  AM=2x; BM=3x.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки
AK = AM = 3x.
BF = BM = 2x
CK=CF= x

BC = BF + CF = 2x + x = 3x = 12  откуда х=4 см

АВ = АМ + ВМ = 3х + 2х = 5х = 5 * 4 = 20 см

АС = АК + СК = 3х + х = 4х = 4*4 = 16 см

Стороны прямоугольного треугольника будут 20 см, 16см и 12 см.

Радиус вписанной окружности; r = (AC+BC-AB)/2 = (16+12-20)/2 = 4 см