Question

Две стороны остроугольного треугольника равны 15 и 20 а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону этого треугольника

Answer 1

Пусть АВ=20; ВС=15
Медиана АР делит сторону ВС пополам. ВР=РС=7,5
Медиана СК делит сторону АВ пополам. АК=КВ=10

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть медианы пересекаются в точке М. Тогда:
РМ=х
АМ=2х
КМ=у
СМ=2у
Из прямоугольного треугольника РМС:
х²+(2y)²=7,5²
Из прямоугольного треугольника AMK:
(2х)²+y²=10²
Решаем систему уравнений методом сложения:
{x²+4y²=56,25
{4x²+y²=100
5x²+5y²=156,25
x²+y²=31,25

Из прямоугольного треугольника АМС
АС2=(2x)²+(2y)² =4x²+4y²=4*(x²+y²)=4·31,25=125
AC=√125=5√5
О т в е т. 5√5.