Question

Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 22 градусов. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Касательные к окружности в точках А и В пересекаются в точке Р. <APB=22°.
Отрезок ОА перпендикулярен АР, ОВ перпендикулярен ВР (радиусы окружности в точку касания). Прямоугольные треугольники АОР и ВОР равны, так как гипотенуза у них общая, а катеты АР и ВР равны как касательные к окружности из одной точки.
Следовательно, <ОPА=<ОPВ=(1/2)*<APB=11°.
Треугольник АРВ - равнобедренный, так как АР=ВР,  <ОPА=<ОPВ. Следовательно, РМ - ,биссектриса, высота и медиана.
Тогда <MBO=<OPB, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами (сторона ВМ перпендикулярна ОР, ВО перпендикулярна ВР).
Но <MBO=<ABO ( это тот же самый угол).
Ответ: <ABO=11°

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами касательных и центральными углами.

Утверждение: Угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90 градусов.

Итак, пусть \( \angle ABO \) - искомый угол. Так как \( OA \) и \( OB \) - радиусы окружности, то \( \angle AOB \) - центральный угол, который равен удвоенному углу между касательными, т.е. \( 2 \cdot 22^\circ = 44^\circ \).

Теперь, используя свойство касательной и радиуса, мы можем сказать, что угол \( \angle ABO \) равен половине центрального угла, т.е.

\[ \angle ABO = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 44^\circ = 22^\circ. \]

Таким образом, угол \( \angle ABO \) равен 22 градусам.