Question

Луч AD - биссектриса угла BAC. Докажите, что AB=AC, если известно, что углы ADB=ADC

Answer 1

1 способ:

∠ADB = ∠ADC по условию, эти углы смежные, значит их сумма равна 180°, тогда

∠ADB = ∠ADC = 180° : 2 = 90°.

Значит биссектриса AD является высотой, тогда ΔАВС равнобедренный по признаку ранобедренного треугольника, значит

АВ = АС.

2 способ:

∠BAD = ∠CAD, так как AD биссектриса,

∠ADB = ∠ADC по условию,

AD - общая сторона для треугольников ADB и ADC, значит

ΔADB = ΔADC по стороне и двум прилежащим к ней углам, ⇒

АВ = АС.

Answer 2

Для начала, обозначим угол BAC как α, угол ADB как β и угол ADC как γ.

По определению биссектрисы угла, AD делит угол BAC на два равных угла, то есть угол BAD равен углу CAD. Обозначим их как δ.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов: 1) угол BAD = угол CAD = δ 2) угол ADB = β 3) угол ADC = γ

Также известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Из этого следует, что угол BAC + угол BAD + угол CAD = 180 градусов. Заменим углы на их значения: α + δ + δ = 180 градусов α + 2δ = 180 градусов

Теперь рассмотрим треугольник ADB. Сумма его углов также равна 180 градусов: β + угол ABD + угол BAD = 180 градусов Угол ABD равен углу ADC по свойству биссектрисы, то есть угол ABD = γ. Заменим углы на их значения: β + γ + δ = 180 градусов

Из двух полученных уравнений имеем: α + 2δ = 180 градусов β + γ + δ = 180 градусов

Выразим δ из первого уравнения: δ = (180 - α) / 2.

Подставим это значение во второе уравнение: β + γ + (180 - α) / 2 = 180 градусов

Упростим уравнение: 2β + 2γ + 180 - α = 360 градусов 2β + 2γ = 180 + α 2(β + γ) = 180 + α

Таким образом, получаем, что угол β + угол γ = (180 + α) / 2.

Но по условию задачи угол β равен углу γ, то есть β = γ.

Тогда получаем, что 2β = (180 + α) / 2. Упростим выражение: 4β = 180 + α β = (180 + α) / 4

Также известно, что угол BAC равен 2β (по определению биссектрисы угла). Тогда угол BAC = 2((180 + α) / 4) Упростим выражение: Угол BAC = (180 + α) / 2

Но угол BAC равен α по условию задачи. Тогда (180 + α) / 2 = α

Решим это уравнение: 180 + α = 2α 180 = α

Таким образом, получаем, что угол BAC равен 180 градусов.

Так как угол BAC равен 180 градусов, то треугольник ABC является вырожденным (то есть лежит на одной прямой). В таком треугольнике стороны AB и AC равны.

Таким образом, если углы ADB и ADC равны, то стороны AB и AC также равны.