Question

AF биссектриса угла ВАС АВ=АС. Докажите, что BF=FC и угол В=углу С

Answer 1

Докажем, что треугольники ВАF и CАF равны.
1)АF-общая сторона
2)АВ=АС -по услоаию
3) угол ВАF= углу САF
=> ВАF=CАF => BF=FC угол В=углу С 

Answer 2

Для начала давайте разберемся с тем, что означают обозначения в задаче:

- \(AF\) - биссектриса угла \(BAC\), - \(AV\) - биссектриса угла \(BAC\), - \(AS\) - биссектриса угла \(BAC\), - \(BC\) - отрезок между точками \(B\) и \(C\), - \(BF\) - отрезок между точками \(B\) и \(F\), - \(FC\) - отрезок между точками \(F\) и \(C\).

Теперь предоставлю доказательство:

1. Известно, что биссектрисы угла делят его на два равных угла. Следовательно, угол \(BAS\) равен углу \(SAV\), угол \(BAF\) равен углу \(FAV\), а угол \(CAV\) равен углу \(VAS\).

2. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как биссектрисы делят соответствующие углы на равные части, угол \(BAS\) равен углу \(CAV\). Это означает, что треугольники \(BAS\) и \(CAV\) подобны.

3. Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон треугольников \(BAS\) и \(CAV\) равно отношению длин сторон \(BA\) и \(CA\). Таким образом, \(\frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AC}\).

4. Теперь рассмотрим треугольники \(BAF\) и \(CAV\). По построению биссектрисы \(AF\) и \(AV\) совпадают. Угол \(BAF\) равен углу \(CAV\) (так как они оба равны половине угла \(BAC\)).

5. По теореме об угловой части прямой (или вертикальных углах) следует, что углы \(FAV\) и \(VAC\) равны.

6. Теперь, рассматривая треугольники \(BAF\) и \(CAV\), мы видим, что у них равны два угла и одна сторона (отрезок \(AV\)) общая. Следовательно, эти треугольники подобны.

7. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{BF}{AB} = \frac{FC}{AC}\).

8. Объединим уравнения из пунктов 3 и 7: \(\frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AC} = \frac{BF}{AB} = \frac{FC}{AC}\).

9. Заметим, что в данном уравнении дроби справа и слева делятся на одну и ту же величину (\(BF\) и \(FC\)). Следовательно, \(BF = FC\).

10. Также из пункта 4 мы знаем, что угол \(BAF\) равен углу \(CAV\), и угол \(FAV\) равен углу \(VAC\). Следовательно, угол \(B\) равен углу \(C\).

Таким образом, мы доказали, что \(BF = FC\) и угол \(B\) равен углу \(C\).