Question

Окружность касается стороны ab треугольника abc у которого угол c равен 90 градусов и продолжений его сторон ac и bc за точки a и b соотведственно. докажите что периметр треугольника abc равен диаметру этой оружности окружности

Answer 1

Я ща вспомню) подожди

Answer 2

Пусть окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке D, а диаметр окружности равен D. Также обозначим точки пересечения сторон AC и BC с окружностью как E и F соответственно.

Так как окружность касается стороны AB треугольника, то отрезок AD является высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB. Также, так как угол C равен 90 градусов, треугольник ABC - прямоугольный, и по свойству прямоугольного треугольника, точка D - середина гипотенузы и радиус окружности, проведенный из точки D, будет перпендикулярен стороне AB.

Теперь рассмотрим треугольники ADE и CFD. Они подобны по двум углам (угол ADE = угол CFD, так как это вертикальные углы и угол AED = угол CFD, так как это прилежащие углы), следовательно, треугольники ADE и CFD подобны.

По свойству подобных треугольников, отношение соответствующих сторон треугольников ADE и CFD равно, то есть:

(AD / CD) = (AE / CF) (1)

Также, так как отрезок AD является радиусом окружности, а D - середина гипотенузы треугольника ABC, то AD равен D / 2. Аналогично, так как отрезки AE и CF являются радиусами окружности, то AE и CF тоже равны D / 2.

Подставим эти значения в уравнение (1):

(D / 2 / CD) = (D / 2 / CF)

Умножим обе части уравнения на 2:

D / CD = D / CF

Умножим обе части уравнения на CD * CF:

CD * CF * D / CD = CD * CF * D / CF

Получаем:

D = D

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника ABC равен диаметру окружности, касающейся стороны AB этого треугольника.