Question

Докажите пожалуйста что одна сторона четырехугольника меньше суммы трех остальных сторон

Answer 1

Все просто. Хоть как одна сторона будет меньше суммы других. Например возьмем четырехугольник ABCD. AB<BC+CD так с каждой стороной. Мы видим, что одна сторона хоть как меньше суммы двух других сторон, из этого следует, что одна сторона будет меньше суммы трех сторон четырехугольника.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD, где AB, BC, CD и DA - его стороны.

Мы хотим доказать, что одна из сторон четырехугольника (допустим, AB) меньше суммы трех остальных сторон (BC + CD + DA).

Давайте предположим обратное, что AB больше или равно суммы трех других сторон, то есть:

AB ≥ BC + CD + DA

Теперь давайте рассмотрим треугольник ACD, который является частью четырехугольника ABCD. По неравенству треугольника, сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Применяя это к треугольнику ACD, мы можем записать следующее:

AC + CD > DA (1) AC + DA > CD (2) CD + DA > AC (3)

Теперь давайте сложим неравенства (1), (2) и (3):

(AC + CD) + (AC + DA) + (CD + DA) > DA + CD + AC

2(AC + CD + DA) > AB

Теперь, учитывая, что AB ≥ BC + CD + DA (изначальное предположение), мы можем записать:

2(AC + CD + DA) > AB ≥ BC + CD + DA

Теперь мы видим, что левая сторона неравенства больше правой стороны, что невозможно, так как неравенство не может иметь место.

Следовательно, изначальное предположение AB ≥ BC + CD + DA является неверным. Это означает, что AB меньше суммы трех остальных сторон четырехугольника ABCD.

Таким образом, доказано, что одна из сторон четырехугольника всегда меньше суммы трех других сторон, и это свойство называется неравенством в четырехугольнике.