Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 60 см. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.P.S. С доказательствами, пожалуйста.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике медиана проведённая к гипотенузе равна её половине. 
Повторите тему про вписанные в окружность треугольники. Если вписать прямоугольный треугольник в окружность, то его гипотенуза совпадёт с диаметром.

Answer 2

Конечно, рад помочь! В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит её на две равные части. Давайте обозначим гипотенузу как \(c\) и медиану как \(m\), а катеты треугольника как \(a\) и \(b\).

В соответствии с теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника: \[a^2 + b^2 = c^2\]

Медиана, проведенная к гипотенузе, делит её на две равные части, поэтому у нас имеется два равенства:

\[m^2 = a^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\] \[m^2 = b^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\]

Поскольку \(a^2 + b^2 = c^2\) (по теореме Пифагора), мы можем использовать это равенство для замены \(a^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\) и \(b^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\) в уравнениях для \(m^2\):

\[m^2 = \frac{c^2}{4} + \left(\frac{c}{2}\right)^2\] \[m^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2}{4}\] \[m^2 = \frac{c^2}{2}\]

Теперь найдем значение медианы \(m\):

\[m = \sqrt{\frac{c^2}{2}}\] \[m = \frac{c}{\sqrt{2}}\]

Мы знаем, что гипотенуза \(c\) равна 60 см, поэтому подставим это значение:

\[m = \frac{60}{\sqrt{2}}\]

Чтобы упростить выражение, умножим и поделим числитель на \(\sqrt{2}\):

\[m = \frac{60}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\] \[m = \frac{60\sqrt{2}}{2}\] \[m = 30\sqrt{2}\]

Итак, медиана, проведенная к гипотенузе, равна \(30\sqrt{2}\) см.