Question

Все ребра тетраэдра DABC равны 6 см. Найти двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания. Доказать, что плоскость, проходящая через точки A, D и середину стороны BC, перпендикулярна плоскости основания.

Answer 1

У правильного тетраэдра (у которого все рёбра равны) все грани - равносторонние треугольники.
Площадь грани S = (a²√3) / 4 = (6²√3) / 4 = 9√3.
Периметр Р = 6*3 = 18 см.

В сечении, параллельном одной из граней, тоже будет равносторонний треугольник, подобный тому, которому сечение параллельно. В данной задаче в соответствии с заданием  коэффициент подобия равен: к = (1/2).


Периметр сечения равен: Р1 = Р*к = 18 * (1/2) = 9 см.
Площадь сечения равна: S1 = S*к² = (9√3)*(1/2)² = 9√3/4.

Answer 2

Задача

Нам дано, что все ребра тетраэдра DABC равны 6 см. Нужно найти двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания, а также доказать, что плоскость, проходящая через точки A, D и середину стороны BC, перпендикулярна плоскости основания.

Решение

Для начала, найдем двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания. Для этого воспользуемся геометрическими свойствами тетраэдра.

Шаг 1: Найдем высоту тетраэдра. Высота тетраэдра - это отрезок, проведенный из вершины тетраэдра (например, точки A) перпендикулярно плоскости основания (плоскости BCD). Поскольку все ребра тетраэдра равны 6 см, то высота тетраэдра будет равна высоте равностороннего треугольника со стороной 6 см. Высота равностороннего треугольника можно найти, используя формулу: h = (a * sqrt(3)) / 2, где a - длина стороны треугольника.

Высота треугольника: h = (6 * sqrt(3)) / 2 = 3 * sqrt(3) см.

Шаг 2: Найдем длину бокового ребра тетраэдра. Поскольку все ребра тетраэдра равны 6 см, то длина бокового ребра будет равна 6 см.

Шаг 3: Найдем двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. В нашем случае, треугольник - это боковая грань тетраэдра, а стороны треугольника - это боковые ребра тетраэдра.

Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c - длина стороны треугольника, a и b - длины боковых ребер треугольника, C - угол между этими ребрами.

В нашем случае, a = b = 6 см (длина бокового ребра), c = 6 см (длина стороны треугольника). Подставим значения в формулу:

6^2 = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * cos(C).

Упростим выражение:

36 = 36 + 36 - 72 * cos(C).

0 = -72 * cos(C).

Так как cos(C) не может быть равным нулю, то угол C равен 180 градусов (прямой угол).

Таким образом, двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 180 градусов.

Доказательство перпендикуляр