Question

Касательная, проведенная из одной точки к окружности, равна 20 см, а самая большая секущая, проведенная из той же точки, - 50см. Найдите радиус

Answer 1

Из точки А проведена касательная АВ=20 и секущая АД=50 (самая большая проходит через диаметр СД).
Квадрат отрезка касательной равен  произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: 
АВ²=АС*АД
АС=АВ²/АД=400/50=8
СД=АД-АС=50-8=42
Радиус ОС=ОД=СД/2=42/2=21

Answer 2

Конечно, давайте разберемся. У вас есть точка, которая лежит вне окружности, и проведены две линии из этой точки к окружности. Одна из них - это касательная, а другая - секущая.

У вас есть два ключевых факта:

1. Длина касательной, проведенной из точки к окружности, равна 20 см. 2. Самая большая секущая, проведенная из той же точки к окружности, равна 50 см.

Чтобы найти радиус окружности, можно использовать следующие знания о свойствах касательных и секущих, проведенных к окружности.

Касательная, проведенная к окружности из внешней точки, является перпендикуляром к радиусу окружности в точке касания. Это значит, что у вас имеется прямоугольный треугольник, где один катет равен радиусу окружности, а второй - половине длины касательной. Таким образом, можно составить уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot 20 \, \text{см} = r, \]

где \( r \) - радиус окружности. Отсюда получаем, что радиус равен 10 см.

Секущая, проведенная к окружности из внешней точки, формирует треугольник с двумя хордами. Ваша самая большая секущая разбивает окружность на две части. Если разбить эту секущую пополам, получатся два равных отрезка, каждый длиной 25 см.

Теперь, если соединить середины этих отрезков с центром окружности, мы получим прямоугольный треугольник с катетами, равными радиусу и половине самой большой секущей (то есть 25 см). Используя теорему Пифагора, можем записать:

\[ r^2 + (25 \, \text{см})^2 = (50 \, \text{см})^2. \]

Решив это уравнение, найдем значение радиуса:

\[ r^2 + 625 \, \text{см}^2 = 2500 \, \text{см}^2, \] \[ r^2 = 2500 \, \text{см}^2 - 625 \, \text{см}^2, \] \[ r^2 = 1875 \, \text{см}^2. \]

Корень из 1875 равен 25√3 см, что примерно равно 43,3 см (округляя до десятых).

Итак, радиус окружности получается приблизительно равным 43,3 см, учитывая ваши данные о длине секущей и касательной.