Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА .В треугольник δ вписана окружность ω. Касательные к ω, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника δ1, δ2, δ3. Коэффициент подобия между треугольниками δ1 и δ равен 0,15; между треугольниками δ2 и δ — 0,43. Найдите коэффициент подобия между треугольниками δ3 и δ. Ответ и решение, и если надо рисунок

Answer 1

Эта миленькая задачка съела у меня ночь, пока не догадался об очевидной вещи. Но, красивая.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Пусть стороны треугольника δ равны a, b и c, а стороны треугольников δ1, δ2 и δ3 равны a1, b1, c1, a2, b2, c2 и a3, b3, c3 соответственно.

Так как касательные к окружности ω, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него маленькие треугольники, то соответствующие стороны этих треугольников параллельны сторонам треугольника δ.

Поэтому имеем следующие пропорции: a1/a = b1/b = c1/c = k1 (коэффициент подобия между треугольниками δ1 и δ) a2/a = b2/b = c2/c = k2 (коэффициент подобия между треугольниками δ2 и δ) a3/a = b3/b = c3/c = k3 (коэффициент подобия между треугольниками δ3 и δ)

Из условия задачи известны значения k1 и k2: k1 = 0,15 k2 = 0,43

Найдем коэффициент подобия между треугольниками δ3 и δ.

Из пропорции для сторон треугольников имеем: a3/a = b3/b = c3/c = k3

Так как стороны треугольников связаны соотношением a + b + c = p (где p - полупериметр треугольника δ), то можем записать: a3 = k3 * a b3 = k3 * b c3 = k3 * c

Так как сумма сторон треугольника δ3 равна полупериметру треугольника δ, то: a3 + b3 + c3 = p

Подставляем значения сторон треугольников: k3 * a + k3 * b + k3 * c = p

Выносим k3 за скобки: k3 * (a + b + c) = p

Используем соотношение a + b + c = p: k3 * p = p

Сокращаем на p: k3 = 1

Таким образом, коэффициент подобия между треугольниками δ3 и δ равен 1.

Ответ: коэффициент подобия между треугольниками δ3 и δ равен 1.