Question

В треугольнике авс со сторонами ав=10,вс=14,ас=9,биссектрисы вд и ае внутренних углов в и а пересекаются в точке о (точки в и д лежат соответственно на сторонах вс и ас)найдите отношение ао:ое

Answer 1

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Значит be/ec = ab/ac = 10/9, или
be/(bc-be)=10/9, или be/(14-be),
откуда be = 140/19.
По свойству биссектрисы угла b:
ao/oe = ab/be или ao/oe = 10*19/140.
Ответ: отношение ao/oe=19/14.

Answer 2

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой биссектрисы.

Теорема биссектрисы утверждает, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин смежных сторон.

В данном случае, мы знаем, что биссектрисы внутренних углов В и А пересекаются в точке О. Также известны длины сторон треугольника: АВ = 10, ВС = 14, АС = 9.

Мы хотим найти отношение АО:ОЕ.

Пусть ОЕ = х, тогда АО = 9 - х (так как АО + ОЕ = АЕ = 9).

Также, по теореме биссектрисы, отношение АО:ОЕ равно отношению длин смежных сторон, деленных на отрезок, на котором пересекается биссектриса.

Из треугольника ВСО, мы можем записать:

АО/ОЕ = ВС/ВЕ.

Так как ВЕ = ВС - ОЕ = 14 - х, и АО = 9 - х, мы можем переписать уравнение:

(9 - х)/х = 14/(14 - х).

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на х(14 - х):

(9 - х)(14 - х) = 14х.

Раскрываем скобки:

126 - 23х + х^2 = 14х.

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - 37х + 126 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Решив его, мы получим два значения для х: х1 = 6 и х2 = 21.

Так как О находится внутри треугольника, то О должна лежать на отрезке АЕ. Таким образом, рассматривая значения х, мы видим, что х = 6.

Таким образом, АО = 9 - 6 = 3 и ОЕ = 6.

Отношение АО:ОЕ = 3:6 = 1:2.

Итак, отношение АО:ОЕ равно 1:2.