Question

Помогите решить задачу равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание .прямая AB пересекает отрезок CD в точке O .докажите что угол ADBравен углу ACB

Answer 1

∆ACD = ∆BCD ( CD - общая, AC=CB=AD=BD) ACBD - ромб (AC=CB=AD=BD) => ACBD - параллелограмм => угол ADB = углу ACB

Answer 2

Для доказательства того, что угол ADB равен углу ACB, давайте рассмотрим данные равнобедренные треугольники ADC и BCD.

Поскольку треугольники ADC и BCD равнобедренные и имеют общее основание CD, то углы ADC и BDC равны. Обозначим их как α:

\[ \angle ADC = \angle BDC = \alpha \]

Теперь рассмотрим угол BDA, который представляет собой внешний угол треугольника ADC. По теореме об угле внешнего треугольника:

\[ \angle BDA = \angle ADC + \angle BDC \]

Подставим значения:

\[ \angle BDA = \alpha + \alpha = 2\alpha \]

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что AD — медиана треугольника ABC, и по свойствам медианы:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \]

Так как BD = CD (по условию), то:

\[ \frac{1}{1} = \frac{AB}{AC} \]

Отсюда получаем, что \( AB = AC \).

Теперь мы видим, что треугольник ABC также равнобедренный, так как AB = AC. Это означает, что углы ABC и ACB тоже равны. Обозначим их как β:

\[ \angle ABC = \angle ACB = \beta \]

Теперь, учитывая, что угол ADB равен углу BDA, и углы BDA и ABC равны (поскольку треугольник ABC равнобедренный), мы можем заключить, что:

\[ \angle ADB = \angle ACB \]

Таким образом, угол ADB равен углу ACB, что и требовалось доказать.