Question

Медіани трикутника АВС перетинаються в точці М. Знайдіть площу трикутника, якщо площа трикутника АМС 15 см2

Answer 1

Медиана разбивает треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть равных по площади.
Треугольник АМС состоит из двух таких треугольников, тогда площадь треуг. АВС в три раза большая
15 * 3 = 45 см^2
Ответ: 45 см^2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами медиан в треугольнике.

Медиана треугольника делит ее пополам, и точка пересечения медиан (в данном случае точка M) делит каждую медиану в отношении 2:1. Это означает, что длина от точки M до вершины треугольника равна двум третям длины всей медианы.

Пусть \( S_{AMC} \) - площадь треугольника \( AMC \). Тогда, так как вы знаете площадь этого треугольника, вы можете использовать формулу площади треугольника:

\[ S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MC \cdot \sin(\angle AMC) \]

Поскольку \( AM \) и \( MC \) - это половины медианы, \( \angle AMC \) - это угол между медианами, и вы знаете \( S_{AMC} \), вы можете найти длину третьей медианы (например, \( MB \)) и далее найти площадь всего треугольника \( ABC \).

\[ S_{ABC} = 3 \cdot S_{AMC} \]

Теперь давайте подставим известные значения:

\[ 15 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot MB \cdot \frac{2}{3} \cdot MC \cdot \sin(\angle AMC) \]

Отсюда вы можете найти \( \sin(\angle AMC) \), а затем используйте его для нахождения длины \( MB \). После этого найдите площадь треугольника \( ABC \) с использованием формулы для площади треугольника:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB \cdot \sin(\angle ABC) \]

где \( \angle ABC \) - угол между сторонами \( AB \) и \( MC \).