Question

1) Определите градусную меру центрального угла, если площадь круга равна 36п см^2 , а площадь сектора равна 15п см^22) Объем тетраэдра равен V. Найдите сумму всех ребер тетраэдра

Answer 1

1) Площадь сектора прямо пропорциональна величине угла, поэтому искомый угол х меньше 360 град. во столько же раз, во сколько 15п см^2 меньше 36п см^2 (15/36), т.е. х=150

 

2) Пусть все рёбра по а, тогда площадь основания

$S=\frac{a^2\sqrt3}{4};$.

Высота тетраэдра H, высота боковой грани h и отрезок, соединяющий основания этих высот m (он равен трети медианы основания, т.к. высота тетраэдра падает в центр треугольника) связаны теоремой Пифагора:

$m^2+H^2=h^2;\\ H=\sqrt{h^2-m^2}$

m=h/3, т.к. все треугольники равны.

$h=a\frac{\sqrt3}{2}$ как высота правильного треугольника.

$H=\sqrt{h^2-h^2/9}=\sqrt{8h^2}/3=\sqrt{8*a^2*3/4}/3=a\frac{\sqrt6}{3}$;

Объём

$V=SH/3=\frac{a^2\sqrt3}{4}*a\frac{\sqrt6}{3}/3=a^3\sqrt2/12;\\ a=\sqrt[3]{12V/\sqrt2};$

Всего рёбер 6, значит

$6a=6\sqrt[3]{12V/\sqrt2}$

Answer 2

1) Градусная мера центрального угла в секторе круга:

Для определения градусной меры центрального угла (\(\theta\)) сектора круга, мы можем воспользоваться формулой:

\[ \text{Площадь сектора} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \]

где \(r\) - радиус круга.

У нас дана площадь круга (\(S_{\text{круга}} = 36\pi\) см²) и площадь сектора (\(S_{\text{сектора}} = 15\pi\) см²).

Подставим известные значения:

\[ 15\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36\pi \]

Упростим уравнение, деля обе стороны на \(\pi\):

\[ 15 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36 \]

Теперь решим уравнение относительно \(\theta\):

\[ \theta = \frac{15 \times 360^\circ}{36} \]

\[ \theta = 150^\circ \]

Таким образом, градусная мера центрального угла в секторе круга равна \(150^\circ\).

2) Сумма всех рёбер тетраэдра:

Тетраэдр имеет четыре треугольные грани и шесть рёбер. Сумма всех рёбер тетраэдра (\(S_{\text{рёбер}}\)) может быть найдена с использованием формулы:

\[ S_{\text{рёбер}} = 3 \times S_{\text{граней}} \]

где \(S_{\text{граней}}\) - количество рёбер, выходящих из каждой вершины (для тетраэдра это 3).

\[ S_{\text{рёбер}} = 3 \times 6 = 18 \]

Таким образом, сумма всех рёбер тетраэдра равна 18.