Question

Зарядка для хвоста-7. Задача для супер-пупер знатоков! Придумал, но в свое время не смог решить. Вот теперь "добил" ее. Так что попробуйте и вы тоже. Построить треугольник по стороне, радиусу описанной окружности и биссектрисе угла, противоположному этой стороне. ("биссектриса" - подразумевается что это отрезок биссектрисы от угла до стороны) Дерзайте, авось получится!

Answer 1

Так, вторая попытка :) Постараюсь коротко.
1) Окружность заданного радиуса R.
2) в ней хорда заданной длины AB.
3) диаметр DF через середину AB - точку M; обозначу DM = d;
4) на MF, как на диаметре, строится окружность. O1 - её центр
5) DK - касательная к этой окружности, её длина в квадрате равна 2R*d
6) продлить O1K на половину заданной длины биссектрисы L/2; тогда
DP^2 = (L/2)^2 + 2Rd;
7) продлить DP на L/2; до точки C2;
8) полученным радиусом DC2 провести окружность с центром в D до пересечения с первой окружностью. Это точка C - третья вершина треугольника ABC.

Смысл построения вот в чем. Где бы не лежала точка С на окружности, биссектриса угла С все равно придет в точку D. Пусть при этом она пересекает AB в точке C1. По условию CC1 = L - заданная величина.
Очевидно, что DM/DC1 = DC/DF; или, если обозначить DC1 = x; то
d/x = (x + L)/(2R); или x^2 + x*L - 2Rd = 0; (x + L/2)^2 = (L/2)^2 + 2Rd; (это я просто решил квадратное уравнение :))
Отрезок DP на чертеже как раз и построен так, что DP^2 = (L/2)^2 + 2Rd;

Answer 2

Описанная окружность $x^2+y^2=2Rx$ (центр расположили на оси OX); в полярных координатах $\rho=2R\cos \varphi.$ Прямая x=d пересекает окружность в точках A и B (|AB|=c известно, $d=R-\sqrt{R^2-(\frac{c}{2})^2}$). Луч, выходящий из начала координат и образующий угол 
$\varphi$ с осью OX, пересекает AB в точке D: $|OD|=\frac{d}{\cos\varphi},$ а окружность пересекает в точке C : $|OC|=2R\cos \varphi.$ Остается приравнять |CD| к L - длине биссектрисы:

$2R\cos \varphi - \frac{d}{\cos \varphi}=L;\ 2R\cos^2\varphi-L\cos\varphi -d=0;$

$\cos\varphi=\frac{L+\sqrt{L^2+8Rd}}{4R}$

Думаю, что объяснять, как производятся дальнейшие построения, не нужно

Answer 3

Задача: Построение треугольника по стороне, радиусу описанной окружности и биссектрисе угла, противоположному этой стороне

Данная задача требует построения треугольника по заданным параметрам: стороне, радиусу описанной окружности и биссектрисе угла, противоположному этой стороне.

Решение: 1. Построим отрезок, соответствующий стороне треугольника. 2. Построим окружность с заданным радиусом и центром в точке, лежащей на этой стороне. 3. Построим биссектрису угла, противоположного заданной стороне. 4. Проведем пересечение биссектрисы и окружности. 5. Проведем отрезок от точки пересечения до вершины треугольника, противоположной заданной стороне. 6. Проведем отрезок от точки пересечения до точки, лежащей на заданной стороне. 7. Получим треугольник, построенный по заданным параметрам.

Примечание: Для более точного и наглядного решения задачи, рекомендуется использовать геометрический инструмент, такой как компас и линейку.

Пример решения: 

Надеюсь, это поможет вам решить данную задачу! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.