Question

Решение задачи тема теорема синусов

Answer 1

Задание. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен. Найдите сторону, противолежащую углу в .

Решение. Пусть искомая сторона -  см. Тогда по теореме синусов имеем:

  (см)

Ответ.    (см)

Answer 2

Решение задачи на тему "Теорема синусов"

Для решения задачи, связанной с теоремой синусов, нам необходимо знать формулу этой теоремы и иметь информацию о сторонах и углах треугольника. Давайте рассмотрим теорему синусов и применим ее к задаче.

Теорема синусов утверждает, что в треугольнике со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, справедливо следующее соотношение:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Теперь, когда у нас есть формула теоремы синусов, давайте рассмотрим задачу и применим ее к нашему случаю.

Задача:

Дан треугольник ABC, в котором известны стороны a = 4, b = 5 и угол C = 60 градусов. Найдите остальные стороны и углы треугольника.

Решение:

Мы знаем стороны a = 4 и b = 5, а также угол C = 60 градусов. Давайте найдем остальные стороны и углы треугольника, используя теорему синусов.

1. Найдем угол A: Используем формулу теоремы синусов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) Подставим известные значения: 4/sin(A) = 5/sin(B) = c/sin(60) Так как sin(60) = √3/2, получаем: 4/sin(A) = 5/sin(B) = c/(√3/2) Упростим выражение: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 2c/√3 Так как sin(A) = 4/sin(B), получаем: sin(A) = (4/5)sin(B) Также, так как sin(A) = 2c/√3, получаем: sin(A) = (2c/√3) / 4 Следовательно, (4/5)sin(B) = (2c/√3) / 4 Упростим выражение: sin(B) = (2c/√3) / (4/5) Получаем: sin(B) = (5/4)(2c/√3) Так как sin(B) = √(1 - cos^2(B)), получаем: √(1 - cos^2(B)) = (5/4)(2c/√3) Возведем обе части уравнения в квадрат: 1 - cos^2(B) = (25/16)(4c^2/3) Упростим выражение: 1 - cos^2(B) = (25/12)c^2 Так как cos^2(B) = 1 - sin^2(B), получаем: 1 - (1 - sin^2(B)) = (25/12)c^2 Упростим выражение: sin^2(B) = (25/12)c^2 Возведем обе части уравнения в квадратный корень: sin(B) = √((25/12)c^2) Упростим выражение: sin(B) = (5/√12)c Так как sin(B) = b/sin(B), получаем: b/sin(B) = (5/√12)c / (5/√12)c Упростим выражение: b/sin(B) = c Таким образом, c = 5.

2. Найдем угол B: Используем формулу теоремы синусов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) Подставим известные значения: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 5/sin(60) Так как sin(60) = √3/2, получаем: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 5/(√3/2) Упростим выражение: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 10/√3 Так как sin(A) = 4/sin(B), получаем: sin(A) = (4/5)sin(B) Также, так как sin(A) = 10/√3, получаем: sin(A) = (10/√3) / 4 Следовательно, (4/5)sin(B) = (10/√3) / 4 Упростим выражение: sin(B) = (10/√3) / (4/5) Получаем: sin(B) = (5/4)(10/√3) Так как sin(B) = √(1 - cos^2(B)), получаем: √(1 - cos^2(B)) = (5/4)(10/√3) Возведем обе части уравнения в квадрат: 1 - cos^2(B) = (25/16)(100/3) Упростим выражение: 1 - cos^2(B) = (2500/48) Так как cos^2(B) = 1 - sin^2(B), получаем: 1 - (1 - sin^2(B)) = (2500/48) Упростим выражение: sin^2(B) = (2500/48) Возведем обе части уравнения в квадратный корень: sin(B) = √(2500/48) Упростим выражение: sin(B) = (50/√48) Так как sin(B) = b/sin(B), получаем: b/sin(B) = (5/√12)c / (50/√48) Упростим выражение: b/sin(B) = (5/√12)c / (5/√12)c Упростим выражение: b/sin(B) = c Таким образом, b = c = 5.

3. Найдем угол A: Используем формулу теоремы синусов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) Подставим известные значения: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 5/sin(60) Так как sin(60) = √3/2, получаем: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 5/(√3/2) Упростим выражение: 4/sin(A) = 5/sin(B) = 10/√3 Так как sin(A) = 4/sin(B), получаем: sin(A) = (4/5)sin(B) Также, так как sin(A) = 10/√3, получаем: sin(A) = (10/√3) / 4 Следовательно, (4/5)sin(B) = (10/√3) / 4 Упростим выражение: sin(B) = (10/√3) / (4/5) Получаем: sin(B) = (5/4)(10/√3) Так как sin(B) = √(1 - cos^2(B)), получаем: √(1 - cos^2(B)) = (5/4)(10/√3) Возведем обе ч