Question

Теорема: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе равна её половине. 1) Сформулировать обратную теорему и доказать еёпожалуйста!!!

Answer 1

Считается, что чем больше различных решений существует у задачи, тем она интереснее с математический точки зрения. В этом отношении, задача, которую мы рассмотрим сегодня, является одной из наиболее интересных в школьном курсе геометрии. Она же, кстати, была предложена для решения в задании 24 модуля «Геометрия» демонстрационного варианта ОГЭ по математике в 2015 году. Так что попробуем решить её максимально возможным количеством способов, не выходящих за рамки школьного курса. Присылайте, пожалуйста, свои варианты решения в комментариях или на почту репетитора по математике и физике. С удовольствием опубликую их и поставлю ссылку на вашу анкету или сайт, если это необходимо.


Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

1. Проведем прямую через точку , параллельную прямой . Точку пересечения этой прямой с прямой  обозначим буквой .

2. Тогда , так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых ,  и секущей . Также , так как они вертикальные. Кроме того,  по условию. Следовательно,  по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Следовательно, . То есть в четырехугольнике  две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно,  — прямоугольник.

4. То есть , так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .

Answer 2

Обратная теорема гласит: если в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то данный треугольник является равнобедренным.

Доказательство: Пусть в прямоугольном треугольнике ABC медиана AM, проведенная к гипотенузе BC, равна ее половине, то есть AM = MC.

Так как AM является медианой треугольника, то она делит сторону BC пополам. Поэтому BM = MC.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то у него есть две равные стороны — катеты AB и BC. Так как AM = MC, а BM = MC, то получаем, что AM = BM.

Таким образом, в треугольнике ABC две стороны равны (AB = AM, AB = BM), а значит, треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, обратная теорема доказана.