Question

В четырехугольнике ABCD заданы векторы AB=(4;-6;-1), BC=(-1;6;7), AD=(2;-3;4), а векторы m и n - его диагонали. Найти модуль скалярного произведения векторов m и n.

Answer 1

Обозначим диагонал BD и AC через m и n соответственно.

1)Вектор (диагональ) AC находим как сумму векторов AB и BC (правило треугольника):

AB + BC = (4-1;-6+6;-1+7) = (3;0;6) = AC

2)Вектор (диагональ) BD находим как сумму векторов AD и AB:

AD-AB= (2-4;-3+6;4+1) = (-2;3;5) = BD

3)Находим скалярное произведение диагоналей:

m·n=-2·3 + 3·0 + 6·5=24

4)Модуль скалярного произведения:

|m·n|=√24=2√6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов, а именно:

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \) - скалярное произведение векторов, \( |\mathbf{m}| \) и \( |\mathbf{n}| \) - модули векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) соответственно, а \( \theta \) - угол между векторами.

Для начала найдем векторы \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\), которые являются диагоналями четырехугольника ABCD. Для этого сложим векторы, идущие от одного конца диагонали к противоположному концу:

\[ \mathbf{m} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]

\[ \mathbf{n} = \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \]

Теперь найдем скалярное произведение:

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}| \cdot \cos(\theta) \]

\[ |\mathbf{m}| = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + m_3^2} \]

\[ |\mathbf{n}| = \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} \]

где \(m_1, m_2, m_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{m}\), а \(n_1, n_2, n_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{n}\).

Теперь подставим значения и найдем модуль скалярного произведения векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\).