Question

Найти интервалы возрастания,убывания функции. f(x)=-3x^2-12x+50

Answer 1

Найти производную f ' =-6x-12
приравнять к нулю  -6х-12=0 откуда х=-2
на оси отмечаем точку х=-2 и проверяем интервалы до -2 и после -2
например на интервале от минус бесконечности до -2 производная функции
f ' > 0 (можно проверить подставив  х=-4), значит сама функция на этом интервале  возрастает. Аналогично при х>-2  f ' <0 (проверяем подставив х=0)  значит при x>-2 функция убывает

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = -3x^2 - 12x + 50, мы должны проанализировать ее производную. Первая производная функции показывает, как меняется ее наклон (или скорость изменения) на разных участках графика. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы должны найти значения x, где производная положительна и отрицательна соответственно.

Нахождение производной

Для начала, найдем первую производную функции f(x). Производная функции f(x) = -3x^2 - 12x + 50 будет равна:

f'(x) = d/dx (-3x^2 - 12x + 50)

Чтобы найти производную, мы применяем правила дифференцирования. Для функции вида f(x) = ax^n, где a и n - постоянные, производная будет равна: f'(x) = anx^(n-1). Применяя это правило к нашей функции:

f'(x) = -3 * 2x^(2-1) - 12 * 1x^(1-1) + 0

получаем:

f'(x) = -6x - 12

Нахождение интервалов возрастания и убывания

Теперь, чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы должны найти значения x, где производная f'(x) положительна и отрицательна.

1. Интервалы возрастания: это значения x, где производная f'(x) положительна. Для этого мы решаем неравенство f'(x) > 0:

-6x - 12 > 0

Добавляем 12 к обеим сторонам:

-6x > 12

Делим на -6 (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число):

x < -2

Таким образом, функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2).

2. Интервалы убывания: это значения x, где производная f'(x) отрицательна. Для этого мы решаем неравенство f'(x) < 0:

-6x - 12 < 0

Добавляем 12 к обеим сторонам:

-6x < 12

Делим на -6:

x > -2

Таким образом, функция убывает на интервале (-2, +бесконечность).

График функции

Давайте построим график функции f(x) = -3x^2 - 12x + 50, чтобы визуально увидеть интервалы возрастания и убывания.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = -3*x**2 - 12*x + 50

plt.plot(x, y)
plt.axvline(x=-2, color='r', linestyle='--', label='x=-2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = -3x^2 - 12x + 50')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

График функции показывает, что функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2) и убывает на интервале (-2, +бесконечность). Вертикальная пунктирная линия x = -2 помечена на графике, чтобы показать точку разделения интервалов возрастания и убывания.