Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Биссектриса угла СDА проходит через середину боковой стороны АВ. а) Докажите, что сумма оснований трапеции равна боковой стороне CD. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AB =8, ВС=2, CD=10.

Answer 1

Биссектриса угла СДА проходит через середину АВ (точка Е) и пересекает продолжение основания СВ (точка К)
АЕ=ЕВ
<АДЕ=<СДЕ
ΔКВЕ=ΔДАЕ по стороне (АЕ=ЕВ) и двум прилежащим углам (<КЕВ=<ДЕА как вертикальные, <ДАЕ=<КВЕ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АВ). Значит АД=КВ и КЕ=ЕД.
В ΔКСД <СКД=<СДК, т.к. <СКД=<АДК  как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей КД, а <СДК=<АДК по условию. Значит этот треугольник равнобедренный КС=СД.
КС=КВ+ВС=АД+ВС
Значит СД=АД+ВС, что  и требовалось доказать.
б) АВ=8, ВС=2, СД=10, АД=СД-ВС=10-2=8.
Найти площадь трапеции, зная все ее  стороны, можно несколькими способами. Например, в трапеции АВСД  опустим высоты ВН и СМ на нижнее основание АД (ВН=СМ). 
Обозначим АН=х, МД=у, НМ=ВС=2
АД=АН+НМ+НД=х+2+у
ВН²=АВ²-АН²=64-х²
СМ²=СД²-МД²=100-у²
Получается система уравнений:
х+у+2=8
64-х²=100-у²
у=6-х
(6-х)²-х²=100-64
36-12х+х²-х²=36
х=0
Значит ВН=8
Площадь трапеции АВСД:
Sавсд=ВН(АД+ВС)/2=8(8+2)/2=40

Answer 2

Доказательство равенства суммы оснований и боковой стороны

Дано: Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, где биссектриса угла СDА проходит через середину боковой стороны АВ.

Чтобы доказать, что сумма оснований трапеции равна боковой стороне CD, мы можем воспользоваться следующими фактами:

1. Биссектриса угла CDА проходит через середину боковой стороны AB. Это означает, что точка пересечения биссектрисы с боковой стороной AB является серединой этой стороны. Обозначим эту точку как M.

2. Поскольку AM = MB, то мы можем сказать, что AM = AB / 2 и MB = AB / 2.

3. Из свойств трапеции, мы знаем, что сумма оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим сумму оснований как S и боковую сторону как CD.

Теперь мы можем приступить к доказательству:

Доказательство части (а): - S = AD + BC (сумма оснований трапеции) - AM = MB = AB / 2 (середина боковой стороны) - CD = CM + MD (разложение боковой стороны на две части) - CM = AM (биссектриса проходит через середину боковой стороны) - MD = MB (биссектриса проходит через середину боковой стороны) - CD = AM + MB = AB / 2 + AB / 2 = AB (сумма двух частей боковой стороны) - S = AD + BC = CD (сумма оснований равна боковой стороне) - Таким образом, сумма оснований трапеции равна боковой стороне CD.

Нахождение площади трапеции

Дано: AB = 8, ВС = 2, CD = 10.

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, мы можем использовать формулу:

Площадь = (сумма оснований * высота) / 2

Мы уже знаем, что сумма оснований равна боковой стороне CD, поэтому можем записать:

Площадь = (CD * высота) / 2

Нам нужно найти высоту трапеции. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику CMD:

CM^2 + MD^2 = CD^2

Мы знаем, что CD = 10, и из доказательства части (а) мы знаем, что CM = AM = AB / 2 = 8 / 2 = 4 и MD = MB = AB / 2 = 8 / 2 = 4. Подставим эти значения в уравнение:

4^2 + 4^2 = 10^2

16 + 16 = 100

32 = 100

Уравнение не выполняется. Это означает, что прямоугольный треугольник CMD не существует. Следовательно, биссектриса угла CDА не проходит через середину боковой стороны AB.

Поэтому, без дополнительной информации о треугольнике CMD или других свойствах трапеции ABCD, мы не можем найти площадь трапеции.