Question

Расстояние от центра окружности вписанной в равнобедренную трапецию до вершины основания равно 15,а до вершины нижнего основания 20.Чему равна площадь этой трапеции?СРОЧНО

Answer 1

Так как отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами трапеции, являются биссектрисами углов трапеции, то угол между ними равен  180-(180 / 2) = 90°.
Расстояние от центра вписанной окружности до верхнего и нижнего оснований равны - это радиус.  Угол α - между отрезком 15 и вертикальной осью трапеции.
Тогда 15*cos α = 20*cos (90-α) = 20*sin α = 20*√(1-cos²α).
Возведём в квадрат:
225cos²α = 400 - 400cos²α
625cos²α = 400. Извлечём корень:
25cos α = 20
cos α = 20 / 25 = 4 / 5     sin α = √(1 - (4/5)²) = √(1-(16/25) =√(9/25) = 3/5.
Верхнее основание равно 2*(15*sin α) = 2*15*(3/5) = 18.
Нижнее основание равно 2*(20*sin(90-α)) = 40*cos α = 40*4/5 = 32.
S = ((18+32)/2)*(2*12) = 25*24 = 600.

Answer 2

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть O - центр окружности, вписанной в данную трапецию, и пусть r - радиус этой окружности.

Мы знаем, что расстояние от центра окружности до вершины основания равно 15, а до вершины нижнего основания - 20. Обозначим это расстояние как h1 и h2 соответственно.

Заметим, что треугольник AOD является прямоугольным, так как AD - высота трапеции, а AO - радиус окружности, проведенный к основанию трапеции. Также треугольник BOC также является прямоугольным.

Из прямоугольного треугольника AOD можно выразить AD через радиус окружности и высоту трапеции по теореме Пифагора:

AD^2 = AO^2 - OD^2 AD^2 = r^2 - (r - h1)^2 AD^2 = r^2 - (r^2 - 2rh1 + h1^2) AD^2 = 2rh1 - h1^2

Аналогично из прямоугольного треугольника BOC можно выразить BC через радиус окружности и высоту трапеции:

BC^2 = BO^2 - OC^2 BC^2 = r^2 - (r - h2)^2 BC^2 = r^2 - (r^2 - 2rh2 + h2^2) BC^2 = 2rh2 - h2^2

Так как данная трапеция равнобедренная, то AD = BC. Поэтому мы можем приравнять полученные выражения для AD и BC:

2rh1 - h1^2 = 2rh2 - h2^2

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно h1 и h2:

2rh1 - h1^2 = 2rh2 - h2^2 2rh1 - 2rh2 = h1^2 - h2^2 2r(h1 - h2) = (h1 + h2)(h1 - h2) 2r = h1 + h2

Теперь мы можем выразить r через h1 и h2:

r = (h1 + h2)/2

Мы знаем, что h1 = 15 и h2 = 20. Подставляя эти значения в выражение для r, получаем:

r = (15 + 20)/2 = 35/2 = 17.5

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции по формуле:

S = (AB + CD) * h / 2

где AB и CD - основания трапеции, а h - высота трапеции.

Мы знаем, что AB = AD = BC = 2r = 2 * 17.5 = 35 и CD = AB + 5 = 35 + 5 = 40. Подставляя эти значения в формулу для площади, получаем:

S = (35 + 40) * 15 / 2 = 75 * 15 / 2 = 1125 / 2 = 562.5

Таким образом, площадь данной трапеции равна 562.5.

Ответ: Площадь трапеции равна 562.5.