Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2 см.Найти пиримитр и площадь треугольника

Answer 1

Треугольник АВС, С=90,  М - точка касания на АВ, Н -точка касания на ВС., К-точка касания на АС. проводим радиусы ОК = ОН перпендикулярно  точкам касания. КОНС - квадрат, КС=НС=ОН=ОК=2, АК=АМ - как касательные из одной точки = а, ВМ=ВН=10-а как касательные

ВС= ВН+НС =10-а+2 = 12-а, АС=АК+КС=а+2

АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате

100= (а+2) в квадрате + (12-а) в квадрате

2а в квадрате - 22а +48 = 0

а = (22+-корень(484 - 4 х 2 х 48 )) / 4

а1= 4

а2=8 - не подходит кает не равен гипотенузе

АС = 4 + 2 = 6

ВС = 12 - 4 = 8

площадь = 1/2 АС х ВС = 1/2  х  6 х 8 = 24

 Периметр = 6+8+10 =24

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства прямоугольных треугольников и окружностей.

Нахождение периметра треугольника:

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. В данной задаче у нас есть информация о гипотенузе и радиусе вписанной окружности, поэтому мы можем использовать эти данные для нахождения длин других сторон треугольника.

Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом: - Гипотенуза: c = 10 см - Катеты: a и b (мы не знаем их значения на данный момент)

Известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см. Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине суммы катетов. Это позволяет нам записать следующее уравнение:

r = (a + b - c) / 2

где r - радиус вписанной окружности, a и b - катеты треугольника, c - гипотенуза треугольника.

Подставляя известные значения, мы получаем:

2 = (a + b - 10) / 2

Умножим обе части уравнения на 2 и перегруппируем:

4 = a + b - 10

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нам нужно найти значения катетов a и b. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Подставляя значения, которые у нас есть, мы получаем:

a^2 + b^2 = 10^2

a^2 + b^2 = 100

Нахождение площади треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

S = (a * b) / 2

где S - площадь треугольника, a и b - катеты треугольника.

Теперь у нас есть два уравнения:

a^2 + b^2 = 100 (уравнение Пифагора)

4 = a + b - 10 (уравнение для радиуса вписанной окружности)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения катетов a и b, а затем использовать эти значения для нахождения периметра и площади треугольника.

Решение:

1. Решим уравнение для радиуса вписанной окружности:

4 = a + b - 10

a + b = 14

2. Решим уравнение Пифагора:

a^2 + b^2 = 100

Из первого уравнения мы можем выразить одну переменную через другую:

a = 14 - b

Подставим это выражение во второе уравнение:

(14 - b)^2 + b^2 = 100

Раскроем скобки:

196 - 28b + b^2 + b^2 = 100

2b^2 - 28b + 96 = 0

Разделим обе части на 2:

b^2 - 14b + 48 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение. Для упрощения вычислений, воспользуемся квадратным уравнением:

b = (-(-14) ± sqrt((-14)^2 - 4*1*48)) / (2*1)

b = (14 ± sqrt(196 - 192)) / 2

b = (14 ± sqrt(4)) / 2

b = (14 ± 2) / 2

b = 8 или b = 6

Теперь найдем значение a:

a = 14 - b

a = 14 - 8 = 6 или a = 14 - 6 = 8

Итак, у нас есть два возможных треугольника:

1. a = 6, b = 8 2. a = 8, b = 6

Нахождение периметра и площади:

1. Для треугольника с a = 6 и b = 8: Периметр = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 см Площадь = (a * b) / 2 = (6 * 8) / 2 = 24 кв. см

2. Для треугольника с a = 8 и b = 6: Периметр = a + b + c = 8 + 6 + 10 = 24 см Площадь = (a * b) / 2 = (8 * 6) / 2 = 24 кв. см

Таким образом, периметр треугольника равен 24 см, а площадь треугольника равна 24 квадратных сантиметра.