Question

В треугольнике АВС ВС=4 см, АС=8 см, АВ=4√3 см. Точка Д - середина стороны АС. Вычислите площадь треугольника АВД и расстояние от точки А до прямой ВД. помогите пожалуйста

Answer 1

 

Данный треугольник АВС - прямоугольный,

АВ - гипотенуза,

АС и ВС - катеты.

На эту мысль наводит отношение длин катетов и стороны АВ.

ВС=АВ:2 
Если предположение верно, то данное ниже равенство будет верным:
АС=√(АВ²-ВС²)
Подставим известные значения сторон:
4√3 =√(64-16)
√(64-16)=√48=4√3
Итак, мы доказали, что треугольник АВС прямоугольный.

Продолжим прямую ВД за АС и проведем к ней перпендикуляр.

Он равен расстоянию от А до ВД и является высотой треугольника АВД.

Точку пересечения обозначим К.

 

Если в прямоугольных треугольниках острый угол одного равен острому углу другого, то такие треугольники подобны.

 

Углы при Д в них вертикальные и потому равны.

Углы АКД=ВСД=90°

Δ АДК и Δ ВСД подобны.
АД=ДС по условию задачи.

АД и ДВ - гипотенузы этих треугольников.
В треугольнике АКД известна сторона АД.
В треугольнике ВСД известны два катета.
Найдем ВД по теореме Пифагора:
ВД²=ВС²+ДС²
ВД =√(16+12)=√28=2√7
ВД:АД=ВС:АК
(2√7):2√3=4:АК
8√3=2АК ·√7
АК=4√3:√7
АК является высотой треугольника АВД, проведенной к стороне ВД и в то же время расстоянием от А до ВД.
 
S АВД=2√7·4√3·√7 =8√3 см²

 

Расстояние от А до ВД=АК=(4√3:)√7

Answer 2

Для вычисления площади треугольника АВД можно воспользоваться формулой Герона. Но перед этим необходимо найти длины всех сторон треугольника АВД.

Из условия задачи известно, что ВС = 4 см, АС = 8 см и АВ = 4√3 см. Также известно, что точка Д является серединой стороны АС. Поэтому сторона АД равна половине стороны АС, то есть АД = АС/2 = 8/2 = 4 см.

Теперь, зная длины всех сторон треугольника АВД, можем вычислить его площадь по формуле Герона:

S = √(p(p-AB)(p-AD)(p-BD)), где p - полупериметр треугольника.

p = (AB + AD + BD)/2 = (4√3 + 4 + 4)/2 = (4√3 + 8)/2 = 2√3 + 4.

Теперь можем вычислить площадь треугольника АВД:

S = √((2√3 + 4)((2√3 + 4) - 4√3)((2√3 + 4) - 4)((2√3 + 4) - 4)) = √((2√3 + 4)(2√3)(4)(4)) = √((2√3 + 4)(32√3)) = √(64√3 + 128) = √(8√3 + 16√3 + 16) = √(24√3 + 16) = √(8(3√3 + 2)) = √(8)√(3√3 + 2) = 2√(3√3 + 2) см^2.

Теперь рассмотрим расстояние от точки А до прямой ВД. Для этого построим перпендикуляр из точки А на прямую ВД. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой ВД как Е.

Так как точка Д является серединой стороны АС, то сторона АД равна стороне ДС. Значит, сторона ДС также равна 4 см.

Теперь рассмотрим треугольник АЕД. Он является прямоугольным, так как АЕ - высота, опущенная на гипотенузу ДЕ. Сторона ДЕ равна стороне АД, то есть 4 см.

Теперь можем вычислить расстояние от точки А до прямой ВД, которое равно стороне АЕ:

AE = √(AD^2 - DE^2) = √(4^2 - 4^2) = √(16 - 16) = √0 = 0 см.

Таким образом, расстояние от точки А до прямой ВД равно 0 см.