Question

Объём конуса равен 20. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса. Подзапуталась как формулы выразить, помогите пожалуйста.

Answer 1

Пусть Н - высота большого конуса, R - радиус его основания.

            h - высота малого конуса. r - радиус его основания.

 

Объем большого конуса 1/3 *p*R^2*H

Объем малого конуса 1/3*p*r^2*h.

Теперь, учитывая, что R = 2r, переписываем формулу для объема большого конуса:

 

V = 1/3*p*4r^2*H, по условию этот объем равен 20.

 

Объёмы подобных фигур относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Подставляйте и рассчитывайте.

 

Остались вопросы? Пишите в личку.

Answer 2

Пусть радиус основания большего конуса равен R, а его высота равна H. Тогда, так как объем конуса равен 20, мы можем записать формулу для объема конуса:

V1 = (1/3)πR^2H = 20

Также, по условию, меньший конус имеет ту же вершину и его основание является сечением через середину высоты большего конуса. Обозначим радиус основания меньшего конуса как r, а его высоту как h. Так как основание меньшего конуса является сечением через середину высоты большего конуса, то отношение радиусов меньшего и большего конусов будет равно отношению высот меньшего и большего конусов:

r/R = h/H

Теперь, чтобы найти объем меньшего конуса, нам нужно выразить r и h через R и H. Для этого мы воспользуемся подобием треугольников, так как основание меньшего конуса подобно основанию большего конуса.

Обозначим точку пересечения сечения с высотой большего конуса как точку M. Тогда треугольники AMN и ABC подобны, где A и B - вершины конусов, C - центр оснований конусов, а N - середина высоты большего конуса.

По свойству подобных треугольников, отношение длин отрезков AM и AN будет равно отношению длин отрезков AB и AC:

AM/AN = AB/AC

Так как точка M является серединой высоты большего конуса, то AM = MN = h/2, а AN = H/2.

Также, AB = R - r и AC = R. Подставим все значения в уравнение:

h/2 / H/2 = (R - r) / R

Упростим уравнение:

h/H = (R - r) / R

h = H * (R - r) / R

Теперь, чтобы найти r и h, нам нужно решить систему уравнений, состоящую из формулы для объема большего конуса и уравнения, связывающего r и h:

(1/3)πR^2H = 20 h = H * (R - r) / R

Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод исключения. Обратите внимание, что второе уравнение уже выражено относительно h, поэтому его можно подставить в первое уравнение и решить получившееся уравнение относительно r.

После нахождения r и h, мы можем использовать формулу для объема конуса, чтобы найти объем меньшего конуса:

V2 = (1/3)πr^2h

Подставляем найденные значения r и h и вычисляем V2.