Question

В паралелограмме ABCDиз вершины тупого угла B проведены высоты BM и BK.Докажите что углы MBK и BAM равны.

Answer 1

Пусть <ВАМ=α,тогда <АВС=180⁰-α.

<МВК=<АВС-(<АВМ+<КВС).  <АВМ=90⁰-α,как острый угол прямоугольного т-ка АВМ.

Аналогично <СВК=90⁰ -<С=90⁰-α  (<С=<А=α,как противоположные углы параллелограмма).   <МВК=180⁰-α-((90⁰-α)+(90⁰-α))=180⁰-α-(180⁰-2α)=

=180⁰-α-180⁰+2α=α=<ВАМ,<МВК=<ВАМ,что и требовалось доказать. 

 

Answer 2

Чтобы доказать, что углы MBK и BAM равны, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства треугольников.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Доказательство:

1. По свойству параллелограмма, сторона AB равна стороне CD и сторона BC равна стороне AD. 2. Также, по свойству параллелограмма, угол A равен углу C и угол B равен углу D. 3. В треугольнике ABM и треугольнике CDM, у них общая сторона AB=CD и сторона BM=DM (по свойству параллелограмма). 4. Кроме того, у этих треугольников есть общий угол BAC=DCM (по свойству параллелограмма). 5. Таким образом, по стороне-стороне-стороне треугольника, треугольник ABM равен треугольнику CDM (по критерию равенства треугольников). 6. Следовательно, угол MBK равен углу MDC (по свойству равных треугольников).

Теперь рассмотрим треугольники ABM и CDM:

- У них есть общий угол BAC=DCM (по свойству параллелограмма). - У них также есть общая высота BK (по условию задачи). - Поэтому, по свойству высоты треугольника, у этих треугольников угол BAM равен углу MDC.

Таким образом, мы доказали, что углы MBK и BAM равны.