Question

Даны точки А(4 -3 5) В(6 -7 5) С(5 2 1 ) Д(3 6 1) Докажите что АВСД параллелограм

Answer 1

1) Составляем уравнения всех сторон четырёхугольника по общему виду уравнеия

     прямой, проходящей через две точки:

     

 

     AB: 

 

     CD: 

 

     BC: 

 

     AD: 

 

     Условием параллельности двух прямых вида:

     

     является равенство: 

     Проверяем на параллельность прямые AB и CD:

     ,

     значит AB||CD

     Проверяем на параллельность прямые BC и AD: 

     

     значит BC||AD

     Стороны четырёхугольника параллельны, значит он является параллелограммом.

Answer 2

Параллелограм АВСД

Для доказательства, что АВСД является параллелограмом, нам необходимо проверить два условия: противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны.

Проверка противоположных сторон

Для проверки параллельности противоположных сторон, нам нужно сравнить координаты точек А, В, С и Д.

Из предоставленных точек, координаты А(4, -3, 5), В(6, -7, 5), С(5, 2, 1) и Д(3, 6, 1).

Сравнивая координаты, мы можем заметить, что векторы АВ и СД имеют одинаковые значения координат. Это означает, что противоположные стороны АВСД параллельны.

Проверка равенства противоположных сторон

Для проверки равенства противоположных сторон, мы можем вычислить длины сторон АВ, ВС, СД и ДА, и сравнить их.

Длина стороны АВ: √((6 - 4)^2 + (-7 - (-3))^2 + (5 - 5)^2) = √(2^2 + (-4)^2 + 0^2) = √(4 + 16 + 0) = √20

Длина стороны ВС: √((5 - 6)^2 + (2 - (-7))^2 + (1 - 5)^2) = √((-1)^2 + (9)^2 + (-4)^2) = √(1 + 81 + 16) = √98

Длина стороны СД: √((3 - 5)^2 + (6 - 2)^2 + (1 - 1)^2) = √((-2)^2 + (4)^2 + 0^2) = √(4 + 16 + 0) = √20

Длина стороны ДА: √((4 - 3)^2 + (-3 - 6)^2 + (5 - 1)^2) = √((1)^2 + (-9)^2 + (4)^2) = √(1 + 81 + 16) = √98

Мы видим, что длины сторон АВ и СД равны (√20 = √20), а также длины сторон ВС и ДА равны (√98 = √98). Это означает, что противоположные стороны АВСД равны.

Проверка равенства противоположных углов

Для проверки равенства противоположных углов, нам нужно вычислить углы между противоположными сторонами АВ и СД, а также ВС и ДА.

Угол между сторонами АВ и СД:

Угол между сторонами ВС и ДА:

Если эти углы равны, то противоположные углы АВСД также будут равны.

Вывод

Исходя из проведенных проверок, мы можем заключить, что АВСД является параллелограмом. Противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны.