Question

M и N находятся на выпуклой четырехугольнике ABCD на сторанах BC и AD сотвествино.O точка пересичение BD и MN.Доказать что если AN=ND,BM=MC и MO=ON тогда Sabd = Sbcd

Answer 1

MM1, NN1, AA1, CC1 - перпендикуляры к BD.

Треугольники MOM1 и NON1 равны (прямоугольные т. с равными гипотенузами и острыми углами) => MM1 = NN1.

MM1 и NN1 - средние линии в треугольниках BCC1 и DAA1 (MM1 || CC1, M - середина BC; NN1 || AA1, N - середина AD). Средняя линия треугольника равна половине основания => AA1=CC1.

AA1, CC1 - высоты в треугольниках ABD и BCD. При общем основании и равенстве высот площади ABD и BCD равны.

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. В данной задаче у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, где M и N являются точками на сторонах BC и AD соответственно. O обозначает точку пересечения линий BD и MN.

Условие задачи:

Нам нужно доказать, что если AN=ND, BM=MC и MO=ON, то площадь треугольника SABD равна площади треугольника SBCD.

Доказательство:

Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся теоремой о площади треугольника, которая гласит: площадь треугольника можно вычислить, зная длины двух его сторон и синус угла между ними.

1. Докажем, что треугольники SABD и SBCD имеют одинаковую высоту. Обозначим высоту треугольника SABD через h1 и высоту треугольника SBCD через h2. Так как точка O является точкой пересечения линий BD и MN, то линия BD является высотой обоих треугольников. Следовательно, h1=h2.

2. Докажем, что треугольники SABD и SBCD имеют одинаковую основу. Обозначим основание треугольника SABD через a1 и основание треугольника SBCD через a2. Так как точки M и N являются точками на сторонах BC и AD соответственно, то a1=BM и a2=MC. По условию задачи BM=MC, следовательно, a1=a2.

3. Используя формулу для площади треугольника, S = (1/2) * a * h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника, можем утверждать, что площадь треугольника пропорциональна основанию и высоте. Так как у треугольников SABD и SBCD основание и высота одинаковы (по пунктам 1 и 2), то их площади также будут одинаковыми.

Таким образом, мы доказали, что если AN=ND, BM=MC и MO=ON, то площадь треугольника SABD равна площади треугольника SBCD.