Question

Докажите , что в треугольнике медиана не меньше высоты , проведённой из той же вершины

Answer 1

Высота - это кратчайшее расстояние от точки (вершины треугольника) до прямой, а медиана в общем случае будет наклонной. проведенной из той же точки. Значит она будет длиннее. Только когда треугольник будет равнобедренным, то медиана. проведенная из вершины, соединяющей равные стороны, будет совпадать с высотой, поэтому. в общем случае. медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины. 

Answer 2

В треугольнике медиана и высота проводятся из одной и той же вершины. Чтобы доказать, что медиана не меньше высоты, мы можем использовать свойство треугольника, которое гласит, что медиана делит сторону треугольника пополам, а высота является перпендикуляром, опущенным из вершины к основанию.

Доказательство:

Предположим, что в треугольнике медиана меньше высоты, проведенной из той же вершины. Обозначим медиану как AM и высоту как AH, где M - середина стороны BC, а H - точка пересечения высоты с основанием BC.

Так как медиана делит сторону BC пополам, то BM = MC. Пусть точка O - середина стороны AC. Тогда AO = OC.

Также, так как высота является перпендикуляром, то AH ⊥ BC. Обозначим точку пересечения медианы AM и высоты AH как P.

Теперь рассмотрим треугольник AHP. В этом треугольнике у нас есть два равных отрезка: AO = OC и AH ⊥ OP. По свойству прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна AO, а катет равен AH, мы можем сделать вывод, что угол AOH равен углу AOP.

Теперь рассмотрим треугольник AMP. В этом треугольнике у нас есть два равных отрезка: BM = MC и AM = MP. По свойству равнобедренного треугольника, где две стороны равны, мы можем сделать вывод, что угол AMB равен углу AMP.

Таким образом, мы получили, что угол AOH равен углу AOP и угол AMB равен углу AMP. Но это означает, что угол AOP равен углу AMP, так как они являются соответственными углами при равных сторонах.

Таким образом, мы пришли к противоречию, так как угол AOP не может быть равен углу AMP, если медиана меньше высоты.

Следовательно, мы можем заключить, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.