Question

В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана BM пресекаются в точке K. Отношение стороны AC к AB = 5/8. Найти отношение площади треугольника ABK к площади треугольника BKP.

Answer 1

Проведем из вершины $C$ , отрезок    $CL$ и так что бы он проходил через точку   $K$.  
По теореме Чевы   
$\frac{CM}{MA}*\frac{AL}{LB} * \frac{BP}{PC}=1$ 
так как  $AP$ биссектриса , а по свойству 
$\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{BP}=\frac{5}{8}$. 
Так как $BM$ медиана , то      $\frac{CM}{MA}=1$ 
 $\frac{AL}{LB}=\frac{5}{8}$  
По теореме  Ван Обеля  
 $\frac{AK}{KP}=\frac{AM}{MC}+\frac{AL}{LB}\\ \frac{AK}{KP}=\frac{13}{8}$    
Пусть угол  $BAP=a$ 
 $S_{BAP}=\frac{AB*AP*sina}{2}\\ S_{ABK}=\frac{AB*\frac{13}{21}AP*sina}{2}\\ S_{BKP}=S_{BAP}-S_{ABK} = \frac{\frac{8AB*AP*sina}{21}}{2}\\\\ \frac{S_{ABK}}{S_{BKP}}=\frac{13}{8}$     
   
 
Ответ $\frac{13}{8}$
  

  

Answer 2

Дано: - В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана BM, которые пересекаются в точке K. - Отношение стороны AC к AB равно 5/8.

Нам нужно найти отношение площади треугольника ABK к площади треугольника BKP.

Шаг 1: Найти отношение длин сторон треугольников ABK и BKP

Для начала, давайте найдем отношение длин сторон треугольников ABK и BKP.

Поскольку K - точка пересечения биссектрисы AP и медианы BM, она делит их в отношении, равном отношению длин смежных сторон. То есть:

AK/KP = AB/BK

Шаг 2: Найти отношение площадей треугольников ABK и BKP

Теперь, когда у нас есть отношение длин сторон ABK и BKP, мы можем найти отношение площадей этих треугольников.

Площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины основания на соответствующую высоту. Поскольку высота обоих треугольников одинакова (так как это общая медиана BM), отношение площадей будет равно отношению длин оснований:

Площадь ABK / Площадь BKP = (AB/KB)^2

Шаг 3: Подставить известные значения и решить уравнение

Подставим известное отношение сторон AC к AB равное 5/8 в уравнение AK/KP = AB/BK:

AK/KP = 5/8

Теперь, используя это соотношение, мы можем выразить AB через AK и KP:

AB = (AK * BK) / KP

Затем, подставим это значение AB в уравнение для отношения площадей:

(AB/KB)^2 = ( (AK * BK) / KP ) / KB )^2

Теперь, мы можем упростить это уравнение, зная, что AK + KP = AP и KP = 2/3 BM:

( (AK * BK) / (2/3 BM) ) / KB )^2 = ( (AK * BK) / (2/3 BM * KB) )^2

Используя известное отношение сторон AC к AB равное 5/8, мы можем найти соответствующие значения AK и KP:

AK = 5/13 AP KP = 8/13 AP

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение:

( (5/13 AP * BK) / (2/3 BM * KB) )^2

Шаг 4: Найти отношение площадей

Теперь, когда мы имеем выражение для отношения площадей в виде ( (5/13 AP * BK) / (2/3 BM * KB) )^2, нам нужно найти значения AP, BM и KB.

Это может быть сделано с использованием дополнительной информации о треугольнике, которую вы не указали в вашем вопросе. Например, дополнительные углы или стороны могут быть известными.

Если вы предоставите дополнительные данные о треугольнике ABC, я смогу продолжить решение проблемы и найти отношение площадей треугольников ABK и BKP.