Question

В трапеции ABCD ( AD||ВС) диагонали АС и BD пересекаюся в точке Р. а) Докажите, что треугольники АPD и СРВ подобны. б) Найдите основание AD трапеции ABCD, если известно, что АР : АС=7:9, ВС = 16.

Answer 1

∠PAD = ∠PCB как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АС,
∠ВРС = ∠DPA как вертикальные, значит
ΔCPB подобен ΔAPD по двум углам.

AP : AC = 7 : 9
Значит, АР составляет 7 равных частей, а РС - 2 таких части.
Из подобия треугольников:
АР : PC = AD : BC
7 : 2 = AD : 16
AD = 16 · 7 / 2 = 56

Answer 2

Доказательство подобия треугольников АPD и СРВ

Для доказательства подобия треугольников АPD и СРВ, мы должны показать, что их соответствующие углы равны, а их соответствующие стороны пропорциональны.

# Равенство углов:

Угол APD и угол CRV являются вертикальными углами и, следовательно, равны друг другу.

# Пропорциональность сторон:

Мы знаем, что AD || BC (параллельны), поэтому по теореме о пересечении параллельных линий, мы можем сказать, что треугольники АРС и BDR подобны. Это означает, что отношение соответствующих сторон треугольников должно быть равно.

Мы также знаем, что АР : АС = 7 : 9. Поэтому отношение соответствующих сторон треугольников АРС и СРВ должно быть таким же.

Таким образом, треугольники АPD и СРВ подобны.

Нахождение основания AD трапеции ABCD

Для нахождения основания AD трапеции ABCD, мы можем использовать пропорцию между сторонами треугольников АРС и СРВ.

Мы знаем, что АР : АС = 7 : 9 и ВС = 16.

Поскольку треугольники АРС и СРВ подобны, отношение их соответствующих сторон будет одинаково. То есть:

AD : BC = AP : CR = 7 : 9

Мы также знаем, что BC = AD + CD (основание трапеции равно сумме двух оснований).

Подставляя это значение в пропорцию, получим:

AD : (AD + CD) = 7 : 9

Теперь нам нужно найти значение CD.

Мы знаем, что CD = BC - AD = 16 - AD

Подставляя это значение в уравнение, получим:

AD : (AD + (16 - AD)) = 7 : 9

Упрощая выражение, получим:

AD : 16 = 7 : 9

Перекрестное умножение:

9 * AD = 7 * 16

AD = (7 * 16) / 9

AD = 112 / 9

AD ≈ 12.44

Таким образом, основание AD трапеции ABCD примерно равно 12.44.