Question

В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно1, вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, ВС=1, проводим высоты ВН и СК на АД, высота трапеции=диаметр вписанной окружности=радиус*2=1*2=2, треугольник АВН=треугольник КСД как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, АН=КС=х, НВСК прямоугольник ВС=НК=1, АД=АН+НК+КД=х+1+х=2х+1, в трапецию можно вписать окружность при условии- сумма оснований=сумме боковых сторон, АД+ВС=АВ+СД, 2х+1+1=2АВ, АВ=х+1, треугольник АВН прямоугольный, ВС в квадрате=АВ в квадрате-АН в квадрате , 4=х в квадрате+2х+1-х в квадрате, 2х=3, х=1,5=АН=КД, АД=1,5+1+1,5=4, площадь АВСД=1/2*(ВС+АД)*ВН=1/2*(1+4)*2=5

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые геометрические свойства трапеции и окружности.

Мы знаем, что верхнее основание трапеции равно 1 и окружность вписана в трапецию с радиусом 1.

Давайте обозначим нижнее основание трапеции как b, а высоту трапеции как h. Также обозначим радиус окружности как r.

Нахождение высоты трапеции

По свойству вписанной окружности, радиус окружности будет перпендикулярен к середине одной из сторон трапеции. Таким образом, мы можем нарисовать высоту трапеции, которая проходит через центр окружности. Обозначим точку пересечения этой высоты с нижним основанием как P.

Также, поскольку верхнее основание равно 1, то мы можем обозначить точку пересечения верхнего основания с высотой как Q.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: △OPQ и △PQB.

В треугольнике △OPQ, гипотенуза равна радиусу окружности r, а катет QP равен половине нижнего основания b/2. Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту OP:

OP = sqrt(r^2 - QP^2)

В треугольнике △PQB, гипотенуза равна растоянию между основаниями b, а катет PQ равен разности высоты OP и радиуса r. Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту QB:

QB = sqrt(b^2 - (OP - r)^2)

Теперь у нас есть высота трапеции h, которая равна сумме высот OP и QB:

h = OP + QB

Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

S = ((a + b) * h) / 2

где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данном случае, верхнее основание равно 1, нижнее основание равно b, а высота трапеции равна h.

Таким образом, площадь трапеции можно выразить следующим образом:

S = ((1 + b) * h) / 2

Подставим значение высоты h, которое мы нашли ранее, и получим окончательную формулу для площади трапеции:

S = ((1 + b) * (OP + QB)) / 2

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, нам нужно найти значение нижнего основания b.

Нахождение нижнего основания трапеции

Рассмотрим треугольник △OPQ. В этом треугольнике, катет QP равен половине нижнего основания b/2.

Поскольку радиус окружности r равен 1, а высота OP равна sqrt(r^2 - QP^2), мы можем записать следующее равенство:

b/2 = sqrt(1 - (b/2)^2)

Решая это уравнение, мы найдем значение нижнего основания b.

Нахождение площади трапеции

Подставим найденное значение нижнего основания b в окончательную формулу площади трапеции:

S = ((1 + b) * (OP + QB)) / 2

Таким образом, мы можем найти площадь трапеции.