Question

один из катетов прямоугольного треугольника в 2 раза больше другого катета высота опущенная на гипотенузу этого треугольника равна 12 найдите площадь треугольника

Answer 1

Пусть данный треугольник АВС, ∠С=90°, АС=2 ВС, высота СН=12.
Высота прямоугольного треугольника. проведенная к гипотенузе, делит его на  треугольники, подобные исходному. 
Из подобия следует, что в ∆ АНС катет АН=2 СН и равен 24. 
В ∆ СНВ катет СН=2 ВН, ⇒
ВН=12:2=6 ⇒
Гипотенуза АВ=АН+ВН=24+6=30
S=CH•AB:2=12•30:2=180 (ед. площади). 
–––––––––––
Как вариант несколько более длинное решение с использованием т. Пифагора.
Примем один катет х, тогда второй будет 2х. 
По т. Пифагора гипотенуза получится х√5
Выразим площадь треугольника через произведение катетов и произведение высоты на гипотенузу и приравняем выражения:
S= (12•x√5):2
S=2x•x:2
12•x√5=2x•x
12•√5=2x⇒
x=6√5
S=(6√5)*(12√5):2=180 (ед. площади)

Answer 2

Пусть один из катетов равен x, тогда другой катет будет 2x. По теореме Пифагора находим гипотенузу:

x^2 + (2x)^2 = c^2, x^2 + 4x^2 = c^2, 5x^2 = c^2, c = x√5.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна половине произведения катетов, поэтому:

h = 1/2 * x * 2x = x^2.

Теперь можем найти площадь треугольника:

S = 1/2 * x * 2x = x^2.

Из условия задачи известно, что x^2 = 12, поэтому площадь треугольника равна:

S = 1/2 * 12 = 6.

Таким образом, площадь треугольника равна 6.