Question

Доведіть що трикутник АВС ПОДІБНИЙ ТРИКУТНИКУ А1В1С1 ЯКЩО АВ=2смВС=3см АС=4см А1В1=6см В1С1=9см А1С1=12см

Answer 1

Т.к. при подобии треугольников их стороны пропорциональны, то получаем, что АВ:А1В1=ВС:В1С1=АС:А1С1=1:3. Т.к. у них общий коэффициент пропорциональности, то они подобны. (отношение записать дробью).

Answer 2

Щоб довести, що трикутник ABC подібний трикутнику A1B1C1, ми повинні переконатися, що вони мають однакові кути і пропорційні сторони.

Перевірка кутів:

У трикутнику ABC, ми знаємо, що сторони AB, BC і AC мають довжини 2 см, 3 см і 4 см відповідно. За допомогою теореми косинусів, ми можемо обчислити кути трикутника ABC.

Нехай а – кут при вершині A, b – кут при вершині B і c – кут при вершині C.

За теоремою косинусів, ми маємо: cos(a) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(b) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos(c) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Підставимо відомі значення: cos(a) = (3^2 + 4^2 - 2^2) / (2 * 3 * 4) = (9 + 16 - 4) / 24 = 21 / 24 = 7 / 8 cos(b) = (2^2 + 4^2 - 3^2) / (2 * 2 * 4) = (4 + 16 - 9) / 16 = 11 / 16 cos(c) = (2^2 + 3^2 - 4^2) / (2 * 2 * 3) = (4 + 9 - 16) / 12 = -3 / 12 = -1 / 4

Далі, використовуючи теорему косинусів, ми можемо обчислити кути трикутника A1B1C1.

cos(a1) = (b1^2 + c1^2 - a1^2) / (2 * b1 * c1) cos(b1) = (a1^2 + c1^2 - b1^2) / (2 * a1 * c1) cos(c1) = (a1^2 + b1^2 - c1^2) / (2 * a1 * b1)

Підставимо відомі значення: cos(a1) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2 * 9 * 12) = (81 + 144 - 36) / 216 = 189 / 216 = 7 / 8 cos(b1) = (6^2 + 12^2 - 9^2) / (2 * 6 * 12) = (36 + 144 - 81) / 144 = 99 / 144 = 11 / 16 cos(c1) = (6^2 + 9^2 - 12^2) / (2 * 6 * 9) = (36 + 81 - 144) / 108 = -27 / 108 = -1 / 4

Ми бачимо, що косинуси кутів трикутника ABC і кутів трикутника A1B1C1 мають однакові значення. Отже, кути обох трикутників є однаковими.

Перевірка сторін:

Тепер ми перевіримо, чи є сторони трикутника ABC пропорційними зі сторонами трикутника A1B1C1.

Сторони трикутника ABC мають довжини 2 см, 3 см і 4 см, а сторони трикутника A1B1C1 мають довжини 6 см, 9 см і 12 см.

Ми можемо перевірити пропорційність сторін, порівнюючи їх довжини. Для цього ми обчислюємо відношення довжин сторін.

AB / A1B1 = 2 / 6 = 1 / 3 BC / B1C1 = 3 / 9 = 1 / 3 AC / A1C1 = 4 / 12 = 1 / 3

Ми бачимо, що відношення довжин сторін трикутника ABC до відповідних сторін трикутника A1B1C1 є однаковими (1/3).

Отже, ми довели, що трикутник ABC подібний трикутнику A1B1C1, оскільки вони мають однакові кути і пропорційні сторони.