Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, а tg B=корень из 3. Найдите sin A.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике sin A =cos B=1/корень(1+tg B в квадрате)=1/корень(1+3)=1/2, sin A =1/2

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся определением тангенса и синуса в прямоугольном треугольнике.

Определения:

1. Тангенс угла B в прямоугольном треугольнике ABC равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: \[ \tan(B) = \frac{AC}{BC} \]

2. Синус угла A в прямоугольном треугольнике ABC равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(A) = \frac{AC}{AB} \]

Решение:

Известно, что tg(B) = √3. Так как tg(B) = AC/BC, мы можем записать: \[ \frac{AC}{BC} = \sqrt{3} \]

Также, из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где угол C равен 90 градусов, имеем: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим значение tg(B) в уравнение и решим его: \[ AC = \sqrt{3} \cdot BC \]

Теперь, используя теорему Пифагора, выразим AC через AB: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = ( \sqrt{3} \cdot BC )^2 + BC^2 = 3BC^2 + BC^2 = 4BC^2 \] \[ AB = 2BC \]

Теперь мы знаем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике: AB = 2BC. Используем это, чтобы выразить AC через AB: \[ AC = \sqrt{3} \cdot BC = \sqrt{3} \cdot \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB \]

Теперь мы можем найти синус угла A, зная, что: \[ \sin(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ:

Таким образом, синус угла A в прямоугольном треугольнике ABC равен √3/2.