Question

Решите пожалуйста задачи.1).В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса BD.Докажите что точка М, взятая на этой биссектрисе, равноудалена от вершин А и С.2)В рпвнобедренной трапеции диагональ перпендикулярно боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. В каком отношении диагонали трапеции делятся точкой их пересечения?

Answer 1

 

1)
Так как треугольник равнобедренный, биссектриса в нем "3 в одном флаконе": биссектриса, высота и медиана. Медиана делит сторону, к которой проведена, на две равные части.
Следовательно, АD=DC.
2)
Пусть это трапеция АВСD.  Нужно найти ВО:ОD

Так как АВ=СD, то
∠ АВD=∠ АСD

Сравним треугольник АВD и АВО

В них, как в любом треугольнике, сумма углов 180º.

В треугольнике АВD
сумма углов равна
180º=90º + ∠А+∠А:2 ( так как ∠А=∠D)

В треугольнике АВО
180º=90º+∠А:2+ ∠АОВ
Следовательно, ∠АОВ = ∠А
∠А+∠А:2=180º-90º=90º
1,5 ∠А=90º
0,5∠А=30º
∠ВАО=30º  По свойству катета, противолежащего углу 30º

ВО=АО:2
АО=ОD
ВО:ОD=1:2

 

Answer 2

1) Для доказательства того, что точка М, взятая на биссектрисе BD равноудалена от вершин A и C, рассмотрим треугольники ABM и CBM. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то у него равны длины сторон AB и BC. Таким образом, у треугольников ABM и CBM равны стороны AM и CM, так как они являются биссектрисами углов треугольника ABC. Следовательно, точка М равноудалена от вершин A и C.

2) Пусть точка пересечения диагоналей трапеции обозначается как O. Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции, то треугольники OAD и OBC подобны. Это означает, что отношение длин отрезков OA и OB равно отношению длин отрезков AD и BC. Таким образом, диагонали трапеции делятся точкой их пересечения в отношении равном отношению длин боковых сторон трапеции.