Question

Даны угол и окружность Найдите на окружности точку принадлежащую углу и равноудаленую от его сторон Сколько решений может иметь задача ?

Answer 1

В любой угол можно вписать окружность. Центр такой окружности  лежит на биссектрисе угла, которая пересекает окружность в двух точках. 

Пусть окружность вписана в угол ВАС. 

К и М - точки пересечения окружности биссектрисой. 

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (теорема), следовательно,  

К и М равноудалены от АВ и АС. ⇒Задача имеет два решения. 

Answer 2

Даны угол и окружность. Чтобы найти точку на окружности, принадлежащую углу и равноудаленную от его сторон, мы можем воспользоваться следующим методом.

Сначала найдем серединный перпендикуляр к одной из сторон угла. Это можно сделать, построив окружность с центром на середине стороны угла и радиусом, равным расстоянию от середины стороны до вершины угла. Пересечение этой окружности с окружностью, описанной вокруг угла, даст нам точку, равноудаленную от стороны угла.

Таким образом, задача может иметь два решения: одно на каждой стороне угла.