Question

Найдите тупой угол треугольника,, в котором центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно некоторой стороны этого треугольника

Answer 1

120 градусов.......................................................................................

Answer 2

Предположим, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника симметричны относительно стороны AB. Обозначим центры вписанной и описанной окружностей как I и O соответственно, а точку пересечения сторон треугольника и вписанной окружности как D.

Так как точка D лежит на вписанной окружности, то угол ADB является прямым углом (180 градусов). Также, известно, что центр вписанной окружности I является серединой дуги BC, не содержащей точку D.

Таким образом, угол AIB равен половине угла BAC (угол BAC равен удвоенному углу BDC). Относительно стороны AB, угол AIB является внутренним углом треугольника и обозначим его как α.

Теперь рассмотрим центр описанной окружности O. Так как центр описанной окружности O симметричен центру вписанной окружности I относительно стороны AB, то угол AOB является прямым углом (180 градусов). Относительно стороны AB, угол AOB является внешним углом треугольника и обозначим его как β.

Таким образом, угол ABC равен α + β, а угол BCA равен α - β.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то: (α + β) + α - β + 90 = 180

Упростим уравнение: 2α + 90 = 180 2α = 90 α = 45

Таким образом, тупой угол треугольника равен 45 градусов.