Question

Четырехугольник ABCD описан около окружности, причем AB:BC:CD=2:3:4 Периметр четырехугольника 84 см. Вычислите длины сторон четырехугольника.

Answer 1

Так как АВ:ВС:СД=2:3:4, то АВ=2к, ВС=3к, СД=4к
Пусть сторона АД=х. Так как четырехугольник описан около окружности, то
АВ+СД=ВС+АД
2к+4к=3к+х
6к=3к+х
х=3к
Значит 2к+3к+4к+3к=84
12к=84
к=84:12
к=7
АВ=2·7=14
ВС=3·7=21
СД=4·7=28
АД=3·7=21

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о радиусе описанной окружности четырехугольника.

Согласно теореме, если четырехугольник описан около окружности, то произведение длин диагоналей равно произведению длин противоположных сторон.

В нашем случае, противоположные стороны четырехугольника ABCD - это AB и CD, а диагонали - это AC и BD.

Также известно, что отношение длин сторон AB:BC:CD равно 2:3:4.

Пусть x - общий множитель для длин сторон. Тогда длины сторон четырехугольника можно записать следующим образом:

AB = 2x BC = 3x CD = 4x

Теперь мы можем выразить длины диагоналей через длины сторон:

AC = AB + BC = 2x + 3x = 5x BD = BC + CD = 3x + 4x = 7x

Таким образом, получаем, что произведение длин диагоналей равно:

AC * BD = 5x * 7x = 35x^2

Также известно, что периметр четырехугольника равен 84 см:

AB + BC + CD + DA = 2x + 3x + 4x + 2x = 11x = 84

Отсюда находим значение x:

11x = 84 x = 84 / 11 x ≈ 7.6364

Теперь можем вычислить длины сторон:

AB = 2x ≈ 2 * 7.6364 ≈ 15.2728 см BC = 3x ≈ 3 * 7.6364 ≈ 22.9092 см CD = 4x ≈ 4 * 7.6364 ≈ 30.5456 см DA = AB = 15.2728 см

Таким образом, длины сторон четырехугольника ABCD приближенно равны: AB ≈ 15.2728 см BC ≈ 22.9092 см CD ≈ 30.5456 см DA ≈ 15.2728 см