Question

Знайти кути трикутника abc вершини якого є точки a(1;3;0) b(-2;4;2) c(3;1;0)

Answer 1

Нам даны точки: А(1;3;9), В(-2;4;2) и С(3;1;0).Вектора и модули:АВ{-2-1;4-3;2-0} или AB{-3;1;2} . |AB|=√(9+1+4)=√14AC{3-1;1-3;0-0}  или AC{2;-2;0} . |AC|=√(4+4+0)=√8.BC{3+2;1-4;0-2}  или BC{5;-3;-2} . |BC|=√(25+9+4)=√38.Косинус угла между векторами находится по формуле:Cosα= (XaXb+YaYb+ZaZb)/|a|*|b|. В нашем случае:CosA=(-3*2+1*(-2)+2*0)/(√14*√8) =-2/√7≈-0,76. <A≈140°CosB=(-3*5+1*(-3)+2*(-2))/(√14*√38) =-11/√133≈-0,956.Отрицательный косинус - это тупой угол. Поскольку в треугольнике не может быть два тупых угла, берем острый угол между векторами, помня что Cos(180-α)=-Cosα. <B=arccos(0,96) ≈17°.CosC=(10+6+0)/(√8*√38) =4/√19≈0,92. <C≈23°.Ответ: <A=140°. <B=17°. <C=23°.

Answer 2

Для того чтобы найти углы треугольника ABC, мы можем использовать формулу косинусов. Формула косинусов гласит:

cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

где α - угол напротив стороны a, a, b, c - длины сторон треугольника.

Для нашего треугольника ABC, длины сторон можно вычислить, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Таким образом, длины сторон треугольника ABC будут следующими:

AB = √((-2 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (2 - 0)^2) = √((-3)^2 + 1^2 + 2^2) = √(9 + 1 + 4) = √14

BC = √((3 - (-2))^2 + (1 - 4)^2 + (0 - 2)^2) = √((5)^2 + (-3)^2 + (-2)^2) = √(25 + 9 + 4) = √38

CA = √((3 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (0 - 0)^2) = √((2)^2 + (-2)^2 + (0)^2) = √(4 + 4 + 0) = √8 = 2√2

Теперь мы можем использовать формулу косинусов для нахождения углов треугольника ABC.

Угол α (против стороны a = BC):

cos(α) = (BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 * BC * CA)

cos(α) = (38 + 8 - 14) / (2 * √38 * 2√2) = (32) / (4√38) = (8) / (√38)

Угол β (против стороны b = CA):

cos(β) = (CA^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * CA * AB)

cos(β) = (8 + 14 - 38) / (2 * 2√2 * √14) = (-16) / (4√2√14) = (-4) / (√2√14) = (-2) / (√7)

Угол γ (против стороны c = AB):

cos(γ) = (AB^2 + BC^2 - CA^2) / (2 * AB * BC)

cos(γ) = (14 + 38 - 8) / (2 * √14 * √38) = (44) / (4√14√38) = (11) / (√14√38) = (11) / (2√2√19)

Таким образом, углы треугольника ABC будут:

α = arccos(8 / √38)

β = arccos(-2 / (√7))

γ = arccos(11 / (2√2√19))

Пожалуйста, обратите внимание, что значения углов могут быть выражены в радианах. Если вам нужно выразить углы в градусах, вы можете использовать формулу:

градусы = радианы * (180 / π)

где π - математическая константа, приближенно равная 3.14159.