Question

Найдите острые углы треугольника АВС, если угол PC = 90°, АС = 2√3, BK = 1, где СК – высота треугольника

Answer 1

 Дан прямоугольный треугольник АВС

Нужно найти острые углы А и В этого треугольника.

Для этого нужно знать его гипотенузуАВ и катет СВ, затем угол А найти через его синус, угол В - через его косинус.

Нарисуем прямоугольный треугольник АВС. Проведем высоту СК.
Вспомним свойство высоты прямоугольного треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые гипотенуза разделена этой высотой.

СК²=АК*КВ
В то же время СК² из треугольника АСК равна по теореме Пифагора
СК²=АС²-АК²
Приравняем эти два выражения, т.к. в обоих случаях они означают равную величину.
АК*КВ=АС²-АК²
Примем АК=х
х*1=(2√3)²-х²
х²+х-12=0
Решим уравнение через дискриминант.
х=3
(второй корень -4 и не годится)
Теперь имеем треугольник, в котором один из катетов равен (2√3),

гипотенуза равна 3+1=4.
Для вычислений длина АС неудобна. Найдем СВ.
СВ²=16-12
СВ=√4=2
Cos В=SinА=1/2
Sin(30°)= 0.5
Cos(60°)=0.5

 

Угол А=30°

Угол В=60°

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и определение тангенса. Давайте рассмотрим треугольник ABC, где угол PC является прямым углом (PC = 90°), АС равно 2√3, BK равно 1, а СК представляет собой высоту треугольника.

Определение острых углов треугольника

Острые углы треугольника - это углы, которые меньше 90°.

Решение

Для начала, нам нужно найти длины сторон треугольника ABC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Мы знаем, что АС равно 2√3 и BK равно 1. Давайте обозначим AB = x, BC = y и AC = z.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:

AC^2 = AB^2 + BC^2

(2√3)^2 = x^2 + y^2

12 = x^2 + y^2

Теперь, чтобы найти острые углы треугольника, мы можем использовать определение тангенса:

тангенс угла = противолежащая сторона / прилежащая сторона

В нашем случае, мы хотим найти тангенсы острых углов, поэтому мы будем использовать противолежащие стороны и прилежащую сторону к острым углам.

Давайте обозначим угол BAC как α, угол BCA как β и угол ABC как γ.

Тогда мы можем записать следующие уравнения:

тангенс α = BK / AC = 1 / (2√3)

тангенс β = BK / AB = 1 / x

тангенс γ = AC / AB = (2√3) / x

Теперь мы можем использовать обратные функции тангенса, чтобы найти значения острых углов:

α = arctan(1 / (2√3))

β = arctan(1 / x)

γ = arctan((2√3) / x)

Вот и все! Мы нашли острые углы треугольника АВС, используя теорему Пифагора и определение тангенса.