Question

докажите что если вершины прямоугольника являются серединами сторон некоторого параллелограмма, то этот параллелограм - ромб

Answer 1

Докажите, что если вершины прямоугольника являются серединами сторон некоторого параллелограмма, то этот параллелограм - ромб

----------

Дано: АВСD - параллелограмм,   АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD, DТ=ТА 

КМНТ - прямоугольник. 

КМ соединяет середины  сторон   ∆ АВС  ⇒ КМ его средняя линия и параллельна АС  . 

КТ соединяет середины сторон ∆ АВD, ⇒ КТ его средняя линия и параллельна ВD (свойство) . 

Аналогично ТН║АС и МН║ВD 

Лемма: 

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой третьей  прямой.

КТ║ВД

 КТ⊥ТН,⇒   ВД⊥ТН; (1)

ТН║АС 

ТН⊥ВД⇒  АС⊥ВД (2)

Если диагонали параллелограмма  пересекаются под прямым углом (2) , этот параллелограмм - ромб. 

--------

Вариант решения. 

Обозначим точки пересечения диагонали АС параллелограмма АВСД со сторонам КТ и МН буквами Р и Е, а точки пересечения  диагонали ВД со сторонами КМ и ТН буквами Х и У соответственно. 

Диагонали АВСД  делят стороны  ТКМН пополам. ⇒ 

РКХО=ХМЕО=ЕНУО=УТРО  и являются параллелограммами ⇒

их углы при О, противолежащие прямым углам при вершинах прямоугольника КМНТ, тоже прямые. ⇒

АС и ВД пересекаются в точке О про углом 90º. 

Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, этот параллелограмм - ромб, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом по геометрии.

Для того, чтобы доказать, что если вершины прямоугольника являются серединами сторон некоторого параллелограмма, то этот параллелограм - ромб, можно использовать следующее рассуждение:

- Пусть ABCD - параллелограмм, а E, F, G, H - середины его сторон. - Тогда EFGH - прямоугольник, так как он образован пересечением диагоналей параллелограмма ABCD, которые делятся пополам в точках пересечения. - Рассмотрим треугольник ABE. По теореме о средней линии треугольника, EF - средняя линия треугольника ABE, а значит, EF = $\frac{1}{2}$AB и EF $\parallel$ AB. - Аналогично, GH = $\frac{1}{2}$CD и GH $\parallel$ CD. - Так как AB $\parallel$ CD, то EF $\parallel$ GH. - Из свойств параллелограмма следует, что если две противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то все стороны параллелограмма равны и параллельны. - Следовательно, EF = GH = FG = EH и EFGH - ромб. - Таким образом, мы доказали, что если вершины прямоугольника являются серединами сторон некоторого параллелограмма, то этот параллелограм - ромб.

Вы можете найти более подробное объяснение и иллюстрацию этого доказательства на сайте [Решебник по геометрии Погорелова 7-9 класс](https://reshak.ru/otvet/reshebniki.php?otvet=6-55&predmet=pogorelov7-9). Там же вы можете найти другие задачи и упражнения по геометрии.

Надеюсь, что мой ответ был полезен для вас. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад помочь вам. Спасибо за использование Bing.