Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади четырехугольника КСРМ

Answer 1

Вроде так:

Обозначения:

S(abk)= s, s(bkp) = s1, s(kpcm)=s2, AB=x ⇒ AC=3x.

Рассматриваем треугольники ABK, AKM:

АМ=3х/2=3/2*х (т.к. ВМ - медиана).

У этих двух трегуольников есть одна вершина и основания лежат на одной прямой, значит, отношение их площадей будет равно отношению оснований ВК и КМ (доказывается с помощью проведенной на эти основания высоты, она будет совпадать, при соотношении площадей сократится).

Т.к. АР - биссектриса, то и АК является биссектрисой угла А. 

По свойству биссектрисы:

$\frac{BK}{KM}=\frac{AB}{AM} = \frac{x}{\frac{3}{2}*x} = \frac{2}{3}=\frac{S(abk)}{S(amk)}= \frac{s}{S(amk)}, S(amk)=\frac{3}{2}*s$

Тогда S (abm) = s+3/2 *s = 5/2*s

Медиана треугольника делит его на два равновеликих, т.е. S(abm)= S(bmc) = 5/2*s.

S(bmc)=s1+s2=5/2*s - запоминаем это выражение (*)

Теперь рассматриваем трегуольники АВР и АРС:

По тому  же свойству биссектрисы и свойству про площади получаем:

$\frac{S(abp)}{S(apc)} = \frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$

$\frac{s+s1}{\frac{3}{2}*s+s2} = \frac{1}{3}$

3s+3s1= 3/2*s+s2

3/2*s=s2-3s1. 

Теперь составляем с выражением (*) систему:

s1+s2=5/2*s, s2-3s1=3/2*s.

Домножаем первое уравнение на 3 и складываем их:

3s1+3s2=15/2*s, s2-3s1=3/2*s

4s2=18/2*s

4s2=9s

s2=9/4*s.

Теперь:

$\frac{s(akm)}{s(kpcm)} = \frac{\frac{3}{2}*s}{s2} = \frac{\frac{3}{2}*s}{\frac{9}{4}*s} = \frac{2}{3}$