Question

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что площадь DCB в 3 раза больше площади треугольника ADC.

Answer 1

Пусть катеты равны $z,y$. Тогда так как  CD высота то следует такие соотношения , высота среднее геометрическое  между отрезками , так как соотношение площадей равны 3:1, то стороны тоже так относятся! 
Тогда пусть одна сторона равна х, другая тогда 3х. 
$CD=\sqrt{3x*x}=\sqrt{3}x\\ CD=\frac{zy}{x+3x}=\sqrt{3}x\\ zy=4\sqrt{3}x^2\\ z^2+y^2=16x^2\\ \\ y=2x\\ z=2\sqrt{3}x$
Теперь по теореме косинусов найдем углы 
$\frac{12x^2-16x^2-4x^2}{-2*2x*4x}=cosB\\ cosB=0.5\\ B=60$
значит  другой $30$ гр 
и того 90 60 30 

Answer 2

раз площади ∆ADC и ∆CDB относятся как 1 :3, то 
отрезки AD и DB тоже относятся как 1 :3
AD/DB = 1/3
∆ACD подобен ∆CDB (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных)
<A = <DCB (сходственные углы подобных треугольников)
обозначим СВ как х
тогда
tgA = CD/AD = x/1
tgDCB = DB/CD = 3/x
раз углы равны, то
tgA = tgDCB
x/1 = 3/x
x^2 = 3
x = √3
tgA = x/1 = √3

<A = arctg(tgA) = 60 °
<B = 180 - 90 - <A = 30°
ну а <C у нас прямой по условию