Question

Медианы треугольника пересекаются в точке М. Найти длину медианы проведенной к стороне ВС, если угол ВАС равен 38, угол ВМС 142, ВС=8

Answer 1

Boт когда в голову приходят такие решения, я все-таки понимаю, зачем сижу на этом сайте :)

1. Треугольник "достраивается" до параллелограмма. Для этого медиана АК (К - середина ВС) продолжается на свою длину за точку К и полученная точка А1 соединяется с В и С. 

2. на АА1 отмечается точка М1 так, что М1К = МК. Ясно, что М1ВМС - тоже параллелограмм (я даже не стану уточнять, что М1 - точка пересечения медиан треугольника А1ВС, симметричного треугольнику АВС относительно точки К).

Поэтому угол ВМ1С = угол ВМС.

В четырехугольнике М1ВАС сумма противоположных углов ВМ1С и ВАС равна 180 градусов, поэтому вокруг него можно описать окружность.

М1А и ВС - две хорды этой окружности, пересекающиеся в точке К. Поэтому

АК*М1К = ВК*КС; 

Если обозначить длину медианы АК как m, то М1К = m/3, и

m^2/3 = (8/2)^2; m^2 = 48; m = 4*√3

 

Задача, конечно, очень простая, и "задним числом" понятно, что на это решение и рссчитывали (может быть, там можно как то доказать подобие треугольников АВК и СМК, но мне уже не охота этим заниматься, тем более, что это совершенно эквивалентный метод), но сам способ оказался симпатичным.