Question

Окружность проходит через вершины A и С в треугольнике ABC, пересекает сторону AB в точке E, сторону BC в точке Р. Угол AEC в 5 раз больше угла BAP, угол ABC=72, АС=2.Найти радиус окружности

Answer 1

Пусть К - точка пересечения АР и СЕ. Углы АЕС и АРС равны, так как опираются на одну дугу окружности. Тогда ∟ВЕК = ∟ВРК = 180° - 5∟ВАР.  В тр-ке АЕК ∟АКЕ = 180° - 6∟ЕАК = 180°-6∟ВАР.  В четырехугольнике ВРКЕ сумма углов = 360°. Значит 360°=6∟ВАР+2(180-5∟ВАР)+72°. Отсюда ∟ВАР = 18°. Но тогда ∟АЕС = 5∟ВАР = 90° и значит АС=2 (дано) - диаметр данной нам окружности! Отсюда радиус = 1.