Question

Из точки М к окружности радиуса 10 проведены касательная МА и секущая МВ, проходящая через центр окружности. Известно, что МВ=3МА. Найдите расстояние s от точки М до центра окружности, в ответ запишите 2s.

Answer 1

Из точки М к окружности проведены касательная МА и секущая МВ, проходящая через центр окружности О (также секущая пересекает окружность и в точке Н), т.е. МВ=МН+ОН+ОВ=МН+20 (радиусы ОН=ОВ=10). Известно, что МВ=3МА. Нужно найти расстояние s=МО=МН+НО=MH+10. Согласно теореме о касательной и секущей: если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной, т.е. МА²=МН*МВ=(МВ-20)МВ=МВ²-20МВ=9МА²-20*3МА=9МА²-60МА. Из уравнения МА²=9МА²-60МА найдем МА=7,5. Тогда МВ=3*7,5=22,5; МН=22,5-20=2,5. Теперь находим МО=2,5+10=12,5. В ответ запишем 2*12,5=25.