Question

А) Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює 24 см і ділить її на відрізки, які відносяться, як 9:16. Обчисліть периметр трикутника.б) Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відносяться, як 4:5, а бісектриса одного з гострих кутів ділить другий катет на відрізки, різниця між якими 2 см. Обчисліть периметр трикутника.

Answer 1

1) Дан прямоугольный треугольник АВС, угол С - прямой.
Высота  СК прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые высота делит гипотенузу ( можно доказать из подобия двух  прямоугольных АСК и ВКС):
СК²=АК·ВК
АК=9х, ВК=16х
24²=9х·16х,
х²=4,
х=2
 АК=18, ВК=32 АВ=50 - гипотенуза
АС²=АК²+СК²=18²+24²=324+576=900
АС=30
ВС²=СК²+КВ²=32²+24²=1024+576=1600
ВС=40
Периметр Р=АВ+ВС+АС+30+40+50=120см

2) Свойство биссектрисы угла треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
4:5=х:(х+2)
4(х+2)=5х.
4х+8=5х
х=8
х+2=10
Противоположная сторона- катет- разделена на отрезки 8 и 10.
Значит один катет равен 18.
Другой 4к, а гипотенуза 5к.
Применим теорему Пифагора:
(5к)²=(4к)²+18²
25к²-16к²=324,
9к²=324
к²=36
к=6
5·6=30 см - гипотенуза
4·6=24 см - другой катет
Р=30+24+18=72 см