Question

В описанной трапеции ABCD боковые стороны равны AB=7, CD=9, диагональ AC=9. Найдите основания этой трапеции и радиус её вписанной окружности. Помогите хотя бы с основаниями

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Окружность можно вписать в трапецию, если сумма боковых сторон равна сумме оснований. То есть AD+BC=AB+CD=16 см.
Если обозначить AD=a,BC=b, AB=c, CD=d, AC=d1, то d1=√((d²+ab-a(d²-c²)/(a-b)). Так как BC=16-AD=16-a, AB=7, CD=9, AC=9, то из формулы для d1 получаем уравнение для определения a: 9=√((9²+a(16-a)-a(9²-7²)/(2a-16). Возводя обе части в квадрат, получаем 81=81+16a-a²-32a/(2a-16),или 16a-a²-16a/(a-8)=0. Так как a≠0, то на a можно сократить: 16-a-16/(a-8)=0. Умножая на (a-8), приходим к уравнению 16a-128-a²+8a-16=-a²+24a-144=0, или a²-24a+144=(a-12)²=0. Отсюда a=AD=12 и b=BC=16-12=4.
Диагональ трапеции d1 выражается через её высоту h формулой d1=√((a²+d²-2a*√(d²-h²)). Возводя обе части в квадрат и подставляя известные значения, получаем уравнение 81=144+81-24*√(81-h²), или 144-24*√(81-h²)=0. Отсюда √(81-h²)=6, 81-h²=36, откуда h²=45 и h=3*√5. Тогда радиус вписанной окружности r=h/2=3*√5/2. Ответ: AD=12, BC=4, r=3*√5/2