Question

Равносторонний треугольник АВС расположен внутри сферы так,что точки А,В,С лежат на поверхности сферы.Центр сферы удалён от плоскости треугольника на расстояние ,равное 3 см,Вычислите длину радиуса окружности,описанной около треугольника АВС,если длина радиуса равна 5 см.

Answer 1

Это же устная задача.

Радиус окружности В СЕЧЕНИИ сферы (радиуса R)через ТРИ заданные ТОЧКИ (обозначим это радиус r) связан с расстоянием от центра ДО ПЛОСКОСТИ сечения (обозначим h) простой формулой 

R^2 = r^2 + h^2; (это такая теоремка Пифагора :)). 

 

Понимаете, сферу как не секи - все окружность выходит. :))) И радиус её зависит только от радиуса шара и расстояния от плоскости сечения до центра. Препендикуляр из центра на плоскость сечения дает нам центр окружности в сечении, и получается прямоугольный треугольник, где r и h - катеты, а R - гипотенуза....

Ну, а почему такая окружность и будет описанной вокруг треугольника АВС - надо объяснять:)))? 

 

В данном случае h = 3; R = 5;

r = 4 (это Пифагоровы числа 3,4,5).

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах.

Пусть O - центр сферы, M - середина стороны AB треугольника ABS, OM - высота треугольника ABS. Так как треугольник ABS равносторонний, то OM является медианой и высотой, а значит, OM является и перпендикуляром к стороне AB.

Также, из условия, мы знаем, что расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 3 см, то есть OM = 3 см.

Так как OM является медианой, то AM = BM = 1/2 * AB. Также, из свойств равностороннего треугольника, AB = BC = AC.

Обозначим радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, как R.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB. По теореме Пифагора получаем: OB^2 = OM^2 + BM^2 R^2 = (3)^2 + (1/2 * AB)^2 R^2 = 9 + (1/4 * AB^2)

Также, в равностороннем треугольнике ABC можно применить теорему косинусов: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(60°) AB^2 = AB^2 + AB^2 - 2 * AB^2 * cos(60°) AB^2 = 3 * AB^2 - 2 * AB^2 * 1/2 AB^2 = 2 * AB^2

Подставим это выражение в предыдущее уравнение: R^2 = 9 + (1/4 * 2 * AB^2) R^2 = 9 + 1/2 * AB^2 R^2 = 9 + 1/2 * 5^2 R^2 = 9 + 1/2 * 25 R^2 = 9 + 12.5 R^2 = 21.5

Итак, получаем, что квадрат радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 21.5. Чтобы найти сам радиус, возьмём квадратный корень из этого значения: R = sqrt(21.5) R ≈ 4.64 см.

Таким образом, длина радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, составляет примерно 4.64 см.